抛物线 $C_{1}: y = \frac{1}{2p}x^2$（$p > 0$）的焦点与双曲线 $C_{2}: \frac{x^2}{3} - y^2 = 1$ 的右焦点的连线交 $C_{1}$ 于第一象限的点 $M$. 若 $C_{1}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $C_{2}$ 的一条渐近线，则 $p =$（ ）

设函数 $f(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^{2x}} + c$（$\mathrm{e} = 2.71828\cdots$ 是自然对数的底数，$c \in \mathbf{R}$）.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间，最大值； (2) 讨论关于 $x$ 的方程 $\lvert \ln x \rvert = f(x)$ 的根的个数.

椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点分别是 $F_{1}$，$F_{2}$，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $1$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点，连接 $PF_{1}$，$PF_{2}$. 设 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的角平分线 $PM$ 交 $C$ 的长轴于点 $M(m,0)$，求 $m$ 的取值范围； (3) 在（2）的条件下，过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$，使得 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点. 设直线 $PF_{1}$，$PF_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$，$k_{2}$，若 $k \neq 0$，试证明 $\frac{1}{kk_{1}} + \frac{1}{kk_{2}}$ 为定值，并求出这个定值.