设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $S_{4} = 4S_{2}$，$a_{2n} = 2a_{n} + 1$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$，且 $T_{n} + \frac{a_{n} + 1}{2^n} = \lambda$（$\lambda$ 为常数），令 $c_{n} = b_{2n}$（$n \in \mathbf{N}^*$）. 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$.