已知三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 的侧棱与底面垂直，体积为 $\frac{9}{4}$，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，若 $P$ 为底面 $A_{1}B_{1}C_{1}$ 的中心，则 $PA$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小为（ ）

如图所示，在三棱锥 $P - ABQ$ 中，$PB \perp$ 平面 $ABQ$，$BA = BP = BQ$，$D$，$C$，$E$，$F$ 分别是 $AQ$，$BQ$，$AP$，$BP$ 的中点，$AQ = 2BD$，$PD$ 与 $EQ$ 交于点 $G$，$PC$ 与 $FQ$ 交于点 $H$，连接 $GH$.

(1) 求证：$AB \parallel GH$； (2) 求二面角 $D - GH - E$ 的余弦值.