对于函数 $f(x)$ 定义域中任意的 $x_1$，$x_2$（$x_1\neq x_2$），有如下结论：

① $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$； ② $f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)$； ③ $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$； ④ $f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$.

当 $f(x)=\lg x$ 时，上述结论中正确结论的序号是______.

如图，直线 $l_1:y=kx$（$k>0$）与直线 $l_2:y=-kx$ 之间的阴影区域（不含边界）记为 $W$，其左半部分记为 $W_1$，右半部分记为 $W_2$.

(1) 分别用不等式组表示 $W_1$ 和 $W_2$； (2) 若区域 $W$ 中的动点 $P(x,y)$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离之积等于 $d^2$，求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程； (3) 设不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与（2）中的曲线 $C$ 相交于 $M_1$，$M_2$ 两点，且与 $l_1$，$l_2$ 分别交于 $M_3$，$M_4$ 两点. 求证：$\triangle OM_1M_2$ 的重心与 $\triangle OM_3M_4$ 的重心重合.

设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，若存在 $x^{*}\in(0,1)$，使得 $f(x)$ 在 $[0,x^{*}]$ 上单调递增，在 $[x^{*},1]$ 上单调递减，则称 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单峰函数，$x^{*}$ 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的 $[0,1]$ 上的单峰函数 $f(x)$，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

(1) 证明：对任意的 $x_1$，$x_2\in(0,1)$，$x_1<x_2$，$f(x_1)\geqslant f(x_2)$，则 $\left(0,x_2\right)$ 为含峰区间；若 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则 $\left(x_1,1\right)$ 为含峰区间； (2) 对给定的 $r$（$0<r<0.5$），证明：存在 $x_1$，$x_2\in(0,1)$，满足 $x_2-x_1\geqslant2r$，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于 $0.5+r$； (3) 选取 $x_1$，$x_2\in(0,1)$，$x_1<x_2$，由（1）可确定含峰区间为 $\left(0,x_2\right)$ 或 $\left(x_1,1\right)$，在所得的含峰区间内选取 $x_3$，由 $x_3$ 与 $x_1$ 或 $x_3$ 与 $x_2$ 类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为 $\left(0,x_2\right)$ 的情况下，试确定 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 的值，满足两两之差的绝对值不小于 $0.02$，且使得新的含峰区间的长度缩短到 $0.34$.

注：区间长度等于区间的右端点与左端点之差.