对正整数 $n$，设曲线 $y = x^n (1 - x)$ 在 $x = 2$ 处的切线与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $a_n$，则数列 $\left\{\frac{a_n}{n + 1}\right\}$ 的前 $n$ 项和的公式是______.

请您设计一个帐篷. 它下部的形状是高为 $1\mathrm{~m}$ 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 $3\mathrm{~m}$ 的正六棱锥（如图所示）. 试问当帐篷的顶点 $O$ 到底面中心 $O_{1}$ 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

设 $a$ 为实数，设函数 $f(x) = a\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ 的最大值为 $g(a)$.

(1) 设 $t = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$，求 $t$ 的取值范围，并把 $f(x)$ 表示为 $t$ 的函数 $m(t)$； (2) 求 $g(a)$； (3) 试求满足 $g(a) = g\left(\frac{1}{a}\right)$ 的所有实数 $a$.