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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 M={(x,y)∣x2+y2=1,x∈R,y∈R}M = \{(x, y)\mid x^2 + y^2 = 1, x \in \mathbf{R}, y \in \mathbf{R}\}，N={(x,y)∣x2−y=0,x∈R,y∈R}N = \{(x, y)\mid x^2 - y = 0, x \in \mathbf{R}, y \in \mathbf{R}\}，则集合 M∩NM \cap N 中元素的个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★☆☆☆☆
函数 y=∣sin⁡x2∣y = \left|\sin \frac{x}{2}\right| 的最小正周期是（ ）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，且 a2=−6a_{2} = -6，a8=6a_{8} = 6，SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，则（ ）
A.
S4<S5S_{4} < S_{5}
B.
S4=S5S_{4} = S_{5}
C.
S6<S5S_{6} < S_{5}
D.
S6=S5S_{6} = S_{5}

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
圆 x2+y2−4x=0x^{2} + y^{2} - 4x = 0 在点 P(1,3)P(1, \sqrt{3}) 处的切线方程为（ ）
A.
x+3y−2=0x + \sqrt{3} y - 2 = 0
B.
x+3y−4=0x + \sqrt{3} y - 4 = 0
C.
x−3y+4=0x - \sqrt{3} y + 4 = 0
D.
x−3y+2=0x - \sqrt{3} y + 2 = 0

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=log⁡12(x2−1)y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 1)} 的定义域为（ ）
A.
[−2,−1)∪(1,2]\left[-\sqrt{2}, -1\right) \cup (1, \sqrt{2}]
B.
(−2,−1)∪(1,2)(-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})
C.
[−2,−1)∪(1,2]\left[-2, -1\right) \cup (1, 2]
D.
(−2,−1)∪(1,2)(-2, -1) \cup (1, 2)

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06复数★★☆☆☆
设复数 zz 的辐角的主值为 2π3\frac{2\pi}{3}，虚部为 3\sqrt{3}，则 z2=z^2 =（ ）
A.
−2−23i-2 - 2\sqrt{3}\mathrm{i}
B.
−23−2i-2\sqrt{3} - 2\mathrm{i}
C.
2+23i2 + 2\sqrt{3}\mathrm{i}
D.
23+2i2\sqrt{3} + 2\mathrm{i}

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
设双曲线的焦点在 xx 轴上，两条渐近线为 y=±12xy = \pm \frac{1}{2} x，则该双曲线的离心率 e=e =（ ）
A.
55
B.
5\sqrt{5}
C.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
D.
54\frac{5}{4}

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★☆☆☆☆
不等式 1<∣x+1∣<31 < |x + 1| < 3 的解集为（ ）
A.
(0,2)(0,2)
B.
(−2,0)∪(2,4)(-2,0) \cup (2,4)
C.
(−4,0)(-4,0)
D.
(−4,−2)∪(0,2)(-4,-2) \cup (0,2)

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
正三棱锥的底面边长为 22，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A.
223\frac{2\sqrt{2}}{3}
B.
2\sqrt{2}
C.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
D.
423\frac{4\sqrt{2}}{3}

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB = 3，BC=13BC = \sqrt{13}，AC=4AC = 4，则边 ACAC 上的高为（ ）
A.
322\frac{3\sqrt{2}}{2}
B.
332\frac{3\sqrt{3}}{2}
C.
32\frac{3}{2}
D.
333\sqrt{3}

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={(x+1)2,x<1,4−x−1,x⩾1,f(x) = \begin{cases} (x + 1)^2, & x < 1,\\ 4 - \sqrt{x - 1}, & x \geqslant 1, \end{cases}
则使得 f(x)⩾1f(x) \geqslant 1 的自变量 xx 的取值范围为（ ）
A.
(−∞,−2]∪[0,10](-\infty, -2] \cup [0, 10]
B.
(−∞,−2]∪[0,1](-\infty, -2] \cup [0, 1]
C.
(−∞,−2]∪[1,10](-\infty, -2] \cup [1, 10]
D.
[−2,0]∪[1,10][-2,0] \cup [1,10]

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
将 4 名4\text{ 名} 教师分配到 3 所3\text{ 所} 中学任教，每所中学至少 1 名1\text{ 名}，则不同的分配方案共有（ ）
A.
12 种12\text{ 种}
B.
24 种24\text{ 种}
C.
36 种36\text{ 种}
D.
48 种48\text{ 种}

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★☆☆☆☆
用平面 α\alpha 截半径为 RR 的球，如果球心到平面 α\alpha 的距离为 R2\frac{R}{2}，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为______.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡x+3cos⁡xy = \sin x + \sqrt{3}\cos x 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的最小值为______.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 是奇函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=3x−1f(x) = 3^x - 1，设 f(x)f(x) 的反函数是 y=g(x)y = g(x)，则 g(−8)=g(-8) =______.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
设 PP 是由曲线 y2=4(x−1)y^{2} = 4(x - 1) 上的一个动点，则点 PP 到点 (0,1)(0,1) 的距离与点 PP 到 yy 轴的距离之和的最小值为______.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 为锐角，且 tan⁡α=12\tan \alpha = \frac{1}{2}，求 sin⁡2αcos⁡α−sin⁡αsin⁡2αcos⁡2α\frac{\sin 2\alpha \cos \alpha - \sin \alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} 的值.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：4x+∣1−2x∣=114^{x} + |1 - 2^{x}| = 11.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
某村计划建造一个室内面积为 800 m2800\mathrm{~m}^{2} 的矩形蔬菜温室. 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m1\mathrm{~m} 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m3\mathrm{~m} 宽的空地. 当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
三棱锥 P−ABCP - ABC 中，侧面 PACPAC 与底面 ABCABC 垂直，PA=PB=PC=3PA = PB = PC = 3.
(1) 求证：AB⊥BCAB \perp BC； (2) 设 AB=BC=23AB = BC = 2\sqrt{3}，求 ACAC 与平面 PBCPBC 所成角的大小.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设椭圆 x2m+1+y2=1\frac{x^2}{m+1} + y^2 = 1 的两个焦点是 F1(−c,0)F_{1}(-c,0) 与 F2(c,0)F_{2}(c,0)（c>0c > 0），且椭圆上存在一点 PP，使得直线 PF1PF_{1} 与 PF2PF_{2} 垂直.
(1) 求实数 mm 的取值范围； (2) 设 LL 是相应于焦点 F2F_{2} 的准线，直线 PF2PF_{2} 与 LL 相交于点 QQ. 若 ∣QF2PF2∣=2−3\left|\frac{QF_{2}}{PF_{2}}\right| = 2 - \sqrt{3}，求直线 PF2PF_{2} 的方程.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 Sn=2an+(−1)nS_{n} = 2a_{n} + (-1)^{n}，n⩾1n \geqslant 1.
(1) 写出数列 {an}\{a_{n}\} 的前三项 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 证明：对任意的整数 m>4m > 4，有 1a4+1a5+⋯+1am<78\frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} + \cdots + \frac{1}{a_m} < \frac{7}{8}.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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