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01三角函数★☆☆☆☆
在函数 y=sin⁡2xy=\sin 2x，y=sin⁡xy=\sin x，y=cos⁡xy=\cos x，y=tan⁡x2y=\tan\frac{x}{2} 中，最小正周期为 π\pi 的函数是（ ）
A.
y=sin⁡2xy=\sin 2x
B.
y=sin⁡xy=\sin x
C.
y=cos⁡xy=\cos x
D.
y=tan⁡x2y=\tan\frac{x}{2}

2004 · 北京 · 春季 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
当 m<1m<1 时，复数 z=2+(m−1)iz=2+(m-1)\mathrm{i} 在复平面上对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

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03解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x24−y29=1\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{9}=1 的渐近线方程是（ ）
A.
y=±32xy=\pm\dfrac{3}{2}x
B.
y=±23xy=\pm\dfrac{2}{3}x
C.
y=±94xy=\pm\dfrac{9}{4}x
D.
y=±49xy=\pm\dfrac{4}{9}x

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04立体几何初步★★☆☆☆
一个圆锥的侧面积是其底面面积的 22 倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
45∘45^{\circ}
C.
60∘60^{\circ}
D.
75∘75^{\circ}

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05三角函数★☆☆☆☆
已知 sin⁡(θ+π)<0\sin(\theta+\pi)<0，cos⁡(θ−π)>0\cos(\theta-\pi)>0，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A.
sin⁡θ<0\sin\theta<0，cos⁡θ>0\cos\theta>0
B.
sin⁡θ>0\sin\theta>0，cos⁡θ<0\cos\theta<0
C.
sin⁡θ>0\sin\theta>0，cos⁡θ>0\cos\theta>0
D.
sin⁡θ<0\sin\theta<0，cos⁡θ<0\cos\theta<0

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06解析几何★★☆☆☆
在抛物线 y2=2pxy^{2}=2px 上，横坐标为 44 的点到焦点的距离为 55，则 pp 的值为（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
22
D.
44

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07不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 均为实数，有下列命题：
① 若 ab>0ab>0，bc−ad>0bc-ad>0，则 ca−db>0\dfrac ca-\dfrac db>0； ② 若 ab>0ab>0，ca−db>0\dfrac ca-\dfrac db>0，则 bc−ad>0bc-ad>0； ③ 若 bc−ad>0bc-ad>0，ca−db>0\dfrac ca-\dfrac db>0，则 ab>0ab>0.
其中正确命题的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

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08立体几何初步★★☆☆☆
两个完全相同的长方体的长，宽，高分别为 5 cm5\mathrm{~cm}，4 cm4\mathrm{~cm}，3 cm3\mathrm{~cm}，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）
A.
77 cm\sqrt{77}\mathrm{~cm}
B.
72 cm7\sqrt2\mathrm{~cm}
C.
55 cm5\sqrt5\mathrm{~cm}
D.
102 cm10\sqrt2\mathrm{~cm}

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 100100 件产品中有 66 件次品，现从中任取 33 件产品，至少有 11 件次品的不同取法的种数是（ ）
A.
C61C942\mathrm C_{6}^{1}\mathrm C_{94}^{2}
B.
C61C992\mathrm C_{6}^{1}\mathrm C_{99}^{2}
C.
A1003−A943\mathrm A_{100}^{3}-\mathrm A_{94}^{3}
D.
C1003−C943\mathrm C_{100}^{3}-\mathrm C_{94}^{3}

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10概率与统计★☆☆☆☆
期中考试以后，班长算出了全班 4040 个人数学成绩的平均分为 MM，如果把 MM 当成一个同学的分数，与原来的 4040 个分数一起，算出这 4141 个分数的平均值为 NN，那么 M:NM:N 为（ ）
A.
4041\dfrac{40}{41}
B.
11
C.
4140\dfrac{41}{40}
D.
22

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11解析几何★☆☆☆☆
直线 x−3y+a=0x-\sqrt3y+a=0（aa 为常实数）的倾斜角的大小是______.

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12三角函数★★☆☆☆
sin⁡(α+30∘)−sin⁡(α−30∘)cos⁡α\dfrac{\sin(\alpha+30^{\circ})-\sin(\alpha-30^{\circ})}{\cos\alpha} 的值为______.

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 f−1(x)f^{-1}(x) 为函数 f(x)=lg⁡(x−1)f(x)=\lg(x-1) 的反函数，则 f−1(x)f^{-1}(x) 的值域是______.

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14解析几何★★★★☆
若直线 mx+ny−3=0mx+ny-3=0 与圆 x2+y2=3x^{2}+y^{2}=3 没有公共点，则 mm，nn 满足的关系式为______；以 (m,n)(m,n) 为点 PP 的坐标，过点 PP 的一条直线与椭圆 x27+y23=1\dfrac{x^{2}}7+\dfrac{y^{2}}3=1 的公共点有______个.

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15不等式★★☆☆☆
解不等式：2x−1>x−2\sqrt{2x-1}>x-2.

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是 ∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 的对边长，已知 aa，bb，cc 成等比数列，且 a2−c2=ac−bca^{2}-c^{2}=ac-bc，求 ∠A\angle A 的大小及 bsin⁡Bc\dfrac{b\sin B}{c} 的值.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的底面是边长为 11 的正方形，SDSD 垂直于底面 ABCDABCD，SB=3SB=\sqrt3.
(1) 求证：BC⊥SCBC\perp SC； (2) 求面 ASDASD 与面 BSCBSC 所成二面角的大小.

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18解析几何★★★☆☆
20032003 年 1010 月 1515 日 99 时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于 99 时 99 分 5050 秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行. 该轨道是以地球的中心 F2F_{2} 为一个焦点的椭圆. 选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点. 近地点 AA 距地面 200 km200\mathrm{~km}，远地点 BB 距地面 350 km350\mathrm{~km}. 已知地球半径 R=6371 kmR=6371\mathrm{~km}.
(1) 求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2) 飞船绕地球飞行了 1414 圈后，于 1616 日 55 时 5959 分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约 6×105 km6\times10^{5}\mathrm{~km}，问飞船巡天飞行的平均速度是多少 km/s\mathrm{km/s}？（结果精确到 1 km/s1\mathrm{~km/s}）

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19函数与初等函数★★☆☆☆
某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 4040 元，出厂单价定为 6060 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低 0.020.02 元. 根据市场调查，经销商一次订购量不会超过 500500 件.
(1) 设一次订购量为 xx 件，服装的实际出厂单价为 PP 元，写出函数 P=f(x)P=f(x) 的表达式； (2) 当销售商一次订购 400400 件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价−成本\text{利润} = \text{实际出厂单价} - \text{成本}）

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20数列★★★★☆
下表给出一个“等差数阵”.
其中每行，每列都是等差数列，aija_{ij} 表示位于第 ii 行第 jj 列的数.
(1) 写出 a45a_{45} 的值； (2) 写出 aija_{ij} 的计算公式以及 20082008 这个数在等差数阵中所在的位置.

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