设斜率为 $2$ 的直线 $l$ 过抛物线 $y^{2} = ax$（$a \neq 0$）的焦点 $F$，且和 $y$ 轴交于点 $A$. 若 $\triangle OAF$（$O$ 为坐标原点）的面积为 $4$，则抛物线方程为（ ）

设 $m \in \mathbf{R}$，在平面直角坐标系中，已知向量 $\boldsymbol{a} = (mx, y + 1)$，向量 $\boldsymbol{b} = (x, y - 1)$，$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，动点 $M(x, y)$ 的轨迹为 $E$.

(1) 求轨迹 $E$ 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状. (2) 已知 $m = \frac{1}{4}$，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹 $E$ 恒有两个交点 $A$，$B$，且 $OA \perp OB$（$O$ 为坐标原点），并求出该圆的方程. (3) 已知 $m = \frac{1}{4}$，设直线 $l$ 与圆 $C: x^2 + y^2 = R^2$（$1 < R < 2$）相切于 $A_1$，且 $l$ 与轨迹 $E$ 只有一个公共点 $B_1$，当 $R$ 为何值时，$\lvert A_1B_1\rvert$ 取得最大值？并求最大值.