点 $P$ 在直线 $l: y = x - 1$ 上，若存在过 $P$ 的直线交抛物线 $y = x^2$ 于 $A$，$B$ 两点，且 $|PA| = |AB|$，则称点 $P$ 为“$A$ 点”，那么下列结论中正确的是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 任取直线 $l$ 上的点 $P=(p,p-1)$. 在抛物线 $y=x^2$ 上取 $A=(m,m^2)$，并令 $B=2A-P$，则 $A$ 是线段 $PB$ 的中点，从而 $P$，$A$，$B$ 共线且 $|PA|=|AB|$.

只需使 $B$ 在抛物线上. 由 $B=(2m-p,2m^2-p+1)$，条件为 $2m^2-p+1=(2m-p)^2$，即 $2m^2-4pm+p^2+p-1=0$. 这是关于 $m$ 的二次方程，其判别式为 $\Delta=(-4p)^2-8(p^2+p-1)=8(p^2-p+1)>0$，所以对任意实数 $p$ 都有实数解 $m$. 此时 $B$ 在抛物线上. 若 $A=B$，则 $P=A$，从而 $p^2-p+1=0$，但该方程的判别式为 $-3<0$，矛盾，故 $A\ne B$. 因此每个 $P\in l$ 都是“$A$ 点”，故选 A. \end{solution}

椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{2} = 1$ 的焦点为 $F_1$，$F_2$，点 $P$ 在椭圆上. 若 $|PF_1| = 4$，则 $|PF_2| =$______；$\angle F_1PF_2$ 的大小为______.

\begin{answer} $2$，$120^{\circ}$ \end{answer}

\begin{solution} 椭圆的长半轴为 $a=3$，短半轴平方为 $b^2=2$，故半焦距满足 $c^2=a^2-b^2=7$，从而 $|F_1F_2|=2\sqrt7$. 由椭圆定义，$|PF_1|+|PF_2|=2a=6$，所以 $|PF_2|=6-4=2$.

在 $\triangle F_1PF_2$ 中，由余弦定理，$\cos\angle F_1PF_2=\dfrac{4^2+2^2-(2\sqrt7)^2}{2\cdot4\cdot2}=-\dfrac12$. 因此 $\angle F_1PF_2=120^\circ$. \end{solution}

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > 0$，$b > 0$）的离心率为 $\sqrt{3}$，右准线方程为 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 是圆 $O: x^{2} + y^{2} = 2$ 上动点 $P(x_{0}, y_{0})$（$x_{0} y_{0} \neq 0$）处的切线，$l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A$，$B$，证明 $\angle AOB$ 的大小为定值.