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09导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→1xx−xx−1=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x} - x}{x - 1} =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 当 x→1x\to1 时，x⩾0x\geqslant0，且 xx−xx−1=x(x−1)(x−1)(x+1)=xx+1\dfrac{x\sqrt{x}-x}{x-1}=\dfrac{x(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}. 因而原极限为 11+1=12\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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11导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是偶函数. 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线的斜率为 11，则该曲线在 (−1,f(−1))(-1, f(-1)) 处的切线的斜率为______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 偶函数满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). 对等式两边求导，得 −f′(−x)=f′(x)-f'(-x)=f'(x). 令 x=1x=1，则 −f′(−1)=f′(1)=1-f'(-1)=f'(1)=1，所以 f′(−1)=−1f'(-1)=-1，即所求切线斜率为 −1-1. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=xekxf(x) = x\mathrm{e}^{kx} （k≠0k \neq 0）.
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−1,1)(-1,1) 内单调递增，求 kk 的取值范围.

2009 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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