某学生在上学路上要经过 $4$ 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$，遇到红灯时停留的时间都是 $2 \mathrm{~min}$.

(1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 $\xi$ 的分布列及期望.