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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
“ α=π6+2kπ\alpha=\frac{\pi}{6}+2k\pi”（k∈Zk\in\mathbf{Z}）是“ cos⁡2α=12\cos2\alpha=\frac{1}{2} ”的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 若 α=π6+2kπ\alpha=\dfrac\pi6+2k\pi，则 2α=π3+4kπ2\alpha=\dfrac\pi3+4k\pi，从而 cos⁡2α=cos⁡π3=12\cos2\alpha=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12，所以前一个条件是后一个条件的充分条件.
反之，若 cos⁡2α=12\cos2\alpha=\dfrac12，则 2α=2nπ±π32\alpha=2n\pi\pm\dfrac\pi3，即 α=nπ±π6\alpha=n\pi\pm\dfrac\pi6（n∈Zn\in\mathbf{Z}）. 这包含不满足 α=π6+2kπ\alpha=\dfrac\pi6+2k\pi 的情形，例如 α=5π6\alpha=\dfrac{5\pi}{6}，故前一个条件不是必要条件. 因此它是充分而不必要条件，故选 A. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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12解析几何★★☆☆☆
椭圆 x29+y22=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{2} = 1 的焦点为 F1F_1，F2F_2，点 PP 在椭圆上. 若 ∣PF1∣=4|PF_1| = 4，则 ∣PF2∣=|PF_2| =______；∠F1PF2\angle F_1PF_2 的大小为______.
\begin{answer} 22，120∘120^{\circ} \end{answer}
\begin{solution} 椭圆的长半轴为 a=3a=3，短半轴平方为 b2=2b^2=2，故半焦距满足 c2=a2−b2=7c^2=a^2-b^2=7，从而 ∣F1F2∣=27|F_1F_2|=2\sqrt7. 由椭圆定义，∣PF1∣+∣PF2∣=2a=6|PF_1|+|PF_2|=2a=6，所以 ∣PF2∣=6−4=2|PF_2|=6-4=2.
在 △F1PF2\triangle F_1PF_2 中，由余弦定理，cos⁡∠F1PF2=42+22−(27)22⋅4⋅2=−12\cos\angle F_1PF_2=\dfrac{4^2+2^2-(2\sqrt7)^2}{2\cdot4\cdot2}=-\dfrac12. 因此 ∠F1PF2=120∘\angle F_1PF_2=120^\circ. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，B=π3B = \frac{\pi}{3}，cos⁡A=45\cos A = \frac{4}{5}，b=3b = \sqrt{3}.
(1) 求 sin⁡C\sin C 的值； (2) 求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2009 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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