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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\}，B={0,3,6,9,12}B = \{0, 3, 6, 9, 12\}，则 A∩∁NB=A \cap \complement_{\mathbf{N}} B =（ ）
A.
{1,5,7}\{1, 5, 7\}
B.
{3,5,7}\{3, 5, 7\}
C.
{1,3,9}\{1, 3, 9\}
D.
{1,2,3}\{1, 2, 3\}

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 3+2i2−3i−3−2i2+3i=\frac{3 + 2\mathrm{i}}{2 - 3\mathrm{i}} - \frac{3 - 2\mathrm{i}}{2 + 3\mathrm{i}} =（ ）
A.
00
B.
22
C.
−2i-2\mathrm{i}
D.
2i2\mathrm{i}

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
对变量 xx，yy 有观测数据 (xi,yi)(x_{i}, y_{i})（i=1i = 1，22，…\dots，1010），得散点图 1；对变量 uu，vv 有观测数据 (ui,vi)(u_{i}, v_{i})（i=1i = 1，22，…\dots，1010），得散点图 2. 由这两个散点图可以判断（ ）
A.
变量 xx 与 yy 正相关，uu 与 vv 正相关
B.
变量 xx 与 yy 正相关，uu 与 vv 负相关
C.
变量 xx 与 yy 负相关，uu 与 vv 正相关
D.
变量 xx 与 yy 负相关，uu 与 vv 负相关

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
双曲线 x24−y212=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A.
232 \sqrt{3}
B.
22
C.
3\sqrt{3}
D.
11

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
有四个关于三角函数的命题：p1p_1：∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}，sin⁡2x2+cos⁡2x2=12\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{2}；p2p_2：∃x\exists x，y∈Ry \in \mathbf{R}，sin⁡(x−y)=sin⁡x−sin⁡y\sin (x - y) = \sin x - \sin y；p3p_3：∀x∈[0,π]\forall x \in \left[0,\pi \right]，1−cos⁡2x2=sin⁡x\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \sin x；p4p_4：sin⁡x=cos⁡y⇒x+y=π2\sin x = \cos y \Rightarrow x + y = \frac{\pi}{2}. 其中假命题的是（ ）
A.
p1,p4p_1, p_4
B.
p2p_2，p4p_4
C.
p1p_1，p3p_3
D.
p2p_2，p3p_3

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
设 xx，yy 满足
{2x+y⩾4,x−y⩾−1,x−2y⩽2,\begin{cases} 2x + y \geqslant 4,\\ x - y \geqslant -1,\\ x - 2y \leqslant 2, \end{cases}
则 z=x+yz = x + y（ ）
A.
有最小值 22，最大值 33
B.
有最小值 22，无最大值
C.
有最大值 33，无最小值
D.
既无最小值，也无最大值

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 4a14a_{1}，2a22a_{2}，a3a_{3} 成等差数列. 若 a1=1a_{1} = 1，则 S4=S_{4} =（ ）
A.
77
B.
88
C.
1515
D.
1616

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 11，线段 B1D1B_{1}D_{1} 上有两个动点 EE，FF，且 EF=22EF = \frac{\sqrt{2}}{2}，则下列结论中错误的是（ ）
A.
AC⊥BEAC \perp BE
B.
EF∥EF \parallel 平面 ABCDABCD
C.
三棱锥 A−BEFA - BEF 的体积为定值
D.
异面直线 AEAE，BFBF 所成的角为定值

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知 OO，NN，PP 在 △ABC\triangle ABC 所在平面内，且 ∣OA→∣=∣OB→∣=∣OC→∣\left|\overrightarrow{OA}\right| = \left|\overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{OC}\right|，NA→+NB→+NC→=0\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = \boldsymbol{0}，PA→⋅PB→=PB→⋅PC→=PC→⋅PA→\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA}，则点 OO，NN，PP 依次是 △ABC\triangle ABC 的（ ）
A.
重心，外心，垂心
B.
重心，外心，内心
C.
外心，重心，垂心
D.
外心，垂心，内心

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行如图的程序框图，输入 x=−2x = -2，h=0.5h = 0.5，那么输出的各个数的和等于（ ）
A.
33
B.
3.53.5
C.
44
D.
4.54.5

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2\mathrm{cm}^2）为（ ）
A.
48+12248 + 12\sqrt{2}
B.
48+24248 + 24\sqrt{2}
C.
36+12236 + 12\sqrt{2}
D.
36+24236 + 24\sqrt{2}

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
用 min⁡{a,b,c}\min \{a, b, c\} 表示 aa，bb，cc 三个数中的最小值. 设 f(x)=min⁡{2x,x+2,10−x}f(x) = \min \{2^x, x + 2, 10 - x\}（x⩾0x \geqslant 0），则 f(x)f(x) 的最大值为（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
设已知抛物线 CC 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0)F(1,0)，直线 ll 与抛物线 CC 相交于 AA，BB 两点. 若 ABAB 的中点为 (2,2)(2,2)，则直线 ll 的方程为______.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
已知函数 y=sin⁡(ωx+φ)y = \sin (\omega x + \varphi) （ω>0\omega > 0，−π⩽φ<π-\pi \leqslant \varphi < \pi）的图象如图所示，则 φ=\varphi =______.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
77名志愿者中安排66人在周六，周日两天参加社区公益活动. 若每天安排33人，则不同的安排方案共有______ 种.（用数字作答）

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知 am−1+am+1−am2=0a_{m-1} + a_{m+1} - a_{m}^{2} = 0，S2m−1=38S_{2m-1} = 38，则 m=m =______.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
为了测量两山顶 MM，NN 间的距离，飞机沿水平方向在 AA，BB 两点进行测量. AA，BB，MM，NN 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 AA，BB 间的距离，请设计一个方案，包括：
(1) 指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； (2) 用文字和公式写出计算 MM，NN 间距离的步骤.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂有工人 10001000 名，其中 250250 名工人参加过短期培训（称为 AA 类工人），另外 750750 名工人参加过长期培训（称为 BB 类工人）. 现用分层抽样方法（按 AA 类，BB 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.
(1) 求甲，乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 AA 类工人，乙为 BB 类工人； (2) 从 AA 类工人中的抽查结果和从 BB 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2.
表 1
表 2
(i) 先确定 xx，yy，再完成下列频率分布直方图. 就生产能力而言，AA 类工人中个体间的差异程度与 BB 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） (ii) 分别估计 AA 类工人和 BB 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2\sqrt{2} 倍，PP 为侧棱 SDSD 上的点.
(1) 求证：AC⊥SDAC \perp SD； (2) 若 SD⊥SD \perp 平面 PACPAC，求二面角 P−AC−DP - AC - D 的大小； (3) 在上一问的条件下，侧棱 SCSC 上是否存在一点 EE，使得 BE∥BE \parallel 平面 PACPAC. 若存在，求 SE:ECSE:EC 的值；若不存在，试说明理由.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的中心为直角坐标系 xOyxOy 的原点，焦点在 xx 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 77 和 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 若 PP 为椭圆 CC 上的动点，MM 为过 PP 且垂直于 xx 轴的直线上的点，∣OP∣∣OM∣=λ\frac{|OP|}{|OM|} = \lambda，求点 MM 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x3+3x2+ax+b)e−xf(x) = (x^3 + 3x^2 + ax + b)\mathrm{e}^{-x}.
(1) 若 a=b=−3a = b = -3，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x)f(x) 在 (−∞,α)(-\infty, \alpha)，(2,β)(2,\beta) 单调增加，在 (α,2)(\alpha, 2)，(β,+∞)(\beta, +\infty) 单调减少，证明：β−α>6\beta - \alpha > 6.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★★★
如图，已知 △ABC\triangle ABC 的两条角平分线 ADAD 和 CECE 相交于 HH，∠B=60∘\angle B = 60^{\circ}，FF 在 ACAC 上，且 AE=AFAE = AF.
(1) 证明：BB，DD，HH，EE 四点共圆； (2) 证明：CECE 平分 ∠DEF\angle DEF.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知曲线
C1:{x=−4+cos⁡t,y=3+sin⁡t,C_{1}: \begin{cases} x = -4 + \cos t,\\ y = 3 + \sin t, \end{cases}
（tt 为参数），
C2:{x=8cos⁡θ,y=3sin⁡θ.C_{2}: \begin{cases} x = 8\cos \theta,\\ y = 3\sin \theta. \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 化 C1C_1，C2C_2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2) 若 C1C_1 上的点 PP 对应的参数为 t=π2t = \frac{\pi}{2}，QQ 为 C2C_2 上的动点，求 PQPQ 中点 MM 到直线
C3:{x=3+2t,y=−2+t,C_{3}: \begin{cases} x = 3 + 2t,\\ y = -2 + t, \end{cases}
（tt 为参数）距离的最小值.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24函数与初等函数★★★☆☆
如图，OO 为数轴的原点，AA，BB，MM 为数轴上三点，CC 为线段 OMOM 上的动点，设 xx 表示 CC 与原点的距离，yy 表示 CC 到 AA 距离 44 倍与 CC 到 BB 距离的 66 倍的和.
(1) 将 yy 表示成 xx 的函数； (2) 要使 yy 的值不超过 7070，xx 应该在什么范围内取值.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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