设 $M(x_0, y_0)$ 为抛物线 $C: x^2 = 8y$ 上一点，$F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，以 $F$ 为圆心，$|FM|$ 为半径的圆和抛物线 $C$ 的准线相交，则 $y_0$ 的取值范围是（ ）

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）和椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为______.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{3} + y^2 = 1$. 如图所示，斜率为 $k$ （$k > 0$）且不过原点的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 两点. 线段 $AB$ 的中点为 $E$. 射线 $OE$ 交椭圆 $C$ 于点 $G$，交直线 $x = -3$ 于点 $D(-3, m)$.

(1) 求 $m^{2} + k^{2}$ 的最小值； (2) 若 $\left|OG\right|^{2}=\left|OD\right|\cdot\left|OE\right|$，

(i) 求证：直线 $l$ 过定点； (ii) 试问点 $B$，$G$ 能否关于 $x$ 轴对称？若能，求出此时 $\triangle ABG$ 的外接圆方程. 若不能，请说明理由.