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12导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ex(2x−1)−ax+af(x) = \mathrm{e}^{x}(2x - 1) - ax + a，其中 a<1a < 1，若存在唯一的整数 x0x_0 使得 f(x0)<0f(x_0) < 0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−32e,1)\left[-\frac{3}{2\mathrm{e}},1\right)
B.
[−32e,34)\left[-\frac{3}{2\mathrm{e}},\frac{3}{4}\right)
C.
[32e,34)\left[\frac{3}{2\mathrm{e}},\frac{3}{4}\right)
D.
[32e,1)\left[\frac{3}{2\mathrm{e}},1\right)

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=xln⁡(x+a+x2)f(x) = x \ln \left( x + \sqrt{a + x^2} \right) 为偶函数，则 a=a =______.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 xx（单位：千元\text{千元}）对年销售量 yy（单位：t\mathrm{t}）和年利润 zz（单位：千元\text{千元}）的影响. 对近 88 年的年宣传费 xix_i 和年销售量 yiy_i（i=1i = 1，22，⋯\cdots，88）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 wi=xiw_i = \sqrt{x_i}，w‾=18∑i=18wi\overline{w} = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}w_i.
(1) 根据散点图判断，y=a+bxy = a + bx 与 y=c+dxy = c + d\sqrt{x} 哪一个更适合作为年销售量 yy 关于年宣传费 xx 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2) 根据上一小题的判断结果及表中数据，建立 yy 关于 xx 的回归方程； (3) 已知这种产品的年利润 zz 与 xx，yy 的关系为 z=0.2y−xz = 0.2y - x. 根据上一小题的结果回答下列问题：
(i) 年宣传费 x=49x = 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费 xx 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 (u1,v1)(u_1,v_1)，(u2,v2)(u_2,v_2)，…\dots，(un,vn)(u_n,v_n)，其回归直线 v=α+βuv = \alpha + \beta u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β^=∑i=1n(ui−uˉ)(vi−vˉ)∑i=1n(ui−uˉ)2\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\bar{u})(v_i-\bar{v})}{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\bar{u})^2}，α^=vˉ−β^uˉ\hat{\alpha} = \bar{v} - \hat{\beta}\bar{u}.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C:y=x24C: y = \frac{x^2}{4} 与直线 l:y=kx+al: y = kx + a（a>0a > 0）交于 MM，NN 两点.
(1) 当 k=0k = 0 时，分别求 CC 在点 MM 和 NN 处的切线方程； (2) yy 轴上是否存在点 PP，使得当 kk 变动时，总有 ∠OPM=∠OPN\angle OPM = \angle OPN？说明理由.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax+14f(x) = x^3 + ax + \frac{1}{4}，g(x)=−ln⁡xg(x) = -\ln x.
(1) 当 aa 为何值时，xx 轴为曲线 y=f(x)y = f(x) 的切线； (2) 用 min⁡{m,n}\min \{m, n\} 表示 mm，nn 中的最小值. 设函数 h(x)=min⁡{f(x),g(x)}h(x) = \min \{f(x), g(x)\}（x>0x > 0），讨论 h(x)h(x) 零点的个数.

2015 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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