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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 为虚数单位，复数 5+3i4−i=\frac{5 + 3\mathrm{i}}{4 - \mathrm{i}} =（ ）
A.
1−i1 - \mathrm{i}
B.
−1+i-1 + \mathrm{i}
C.
1+i1 + \mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2012 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{2x+y−2⩾0,x−2y+4⩾0,x−1⩽0,\begin{cases} 2x + y - 2 \geqslant 0,\\ x - 2y + 4 \geqslant 0,\\ x - 1 \leqslant 0, \end{cases}
则目标函数 z=3x−2yz = 3x - 2y 的最小值为（ ）
A.
−5-5
B.
−4-4
C.
−2-2
D.
3

2012 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
阅读如图程序框图，运行相应的程序，则输出 SS 的值为（ ）
A.
8
B.
18
C.
26
D.
80

2012 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=21.2a = 2^{1.2}，b=(12)−0.8b = \left(\frac{1}{2}\right)^{-0.8}，c=2log⁡52c = 2\log_5 2，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
c<b<ac < b < a
B.
c<a<bc < a < b
C.
b<a<cb < a < c
D.
b<c<ab < c < a

2012 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 x∈Rx \in \mathbf{R}，则“x>12x > \frac{1}{2}”是“2x2+x−1>02x^2 + x - 1 > 0”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2012 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既是偶函数，又在区间 (1,2)(1,2) 内是增函数的函数为（ ）
A.
y=cos⁡2x,x∈Ry = \cos 2x, x \in \mathbf{R}
B.
y=log⁡2∣x∣y = \log_2 |x|，x∈Rx \in \mathbf{R} 且 x≠0x \neq 0
C.
y=ex−e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}，x∈Rx \in \mathbf{R}
D.
y=x3+1y = x^{3} + 1，x∈Rx \in \mathbf{R}

2012 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
将函数 f(x)=sin⁡ωxf(x) = \sin \omega x （其中 ω>0\omega > 0） 的图象向右平移 π4\frac{\pi}{4} 个单位长度，所得图象经过点 (3π4,0)\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)，则 ω\omega 的最小值是（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
1
C.
53\frac{5}{3}
D.
2

2012 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}，AB=1AB = 1，AC=2AC = 2. 设点 PP，QQ 满足 AP→=λAB→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}，AQ→=(1−λ)AC→\overrightarrow{AQ} = (1 - \lambda)\overrightarrow{AC}，λ∈R\lambda \in \mathbf{R}. 若 BQ→⋅CP→=−2\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP} = -2，则 λ=\lambda =（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
23\frac{2}{3}
C.
43\frac{4}{3}
D.
2

2012 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★☆☆☆☆
集合 A={x∈R∣∣x−2∣⩽5}A = \{x \in \mathbf{R} \mid |x - 2| \leqslant 5\} 中的最小整数为______.

2012 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示（单位：m\mathrm{m}），则该几何体的体积为______m3\mathrm{m}^3.

2012 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C1:x2a2−y2b2=1C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）与双曲线 C2:x24−y216=1C_2:\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{16} = 1 有相同的渐近线，且 C1C_1 的右焦点为 F(5,0)F(\sqrt{5},0)，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}， b=‾\ b =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
设 mm，n∈Rn \in \mathbf{R}，若直线 l:mx+ny−1=0l: mx + ny - 1 = 0 与 xx 轴相交于点 AA，与 yy 轴相交于点 BB，且 ll 与圆 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 相交所得弦的长为 22，OO 为坐标原点，则 △AOB\triangle AOB 面积的最小值为______.

2012 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
如图，已知 ABAB 和 ACAC 是圆的两条弦，过点 BB 作圆的切线与 ACAC 的延长线相交于点 DD. 过点 CC 作 BDBD 的平行线与圆相交于点 EE，与 ABAB 相交于点 FF，AF=3AF = 3，FB=1FB = 1，EF=32EF = \frac{3}{2}，则线段 CDCD 的长为______.

2012 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=∣x2−1∣x−1y = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} 的图象与函数 y=kxy = kx 的图象恰有两个交点，则实数 kk 的取值范围是______.

2012 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
某地区有小学 21 所21\text{ 所}，中学 14 所14\text{ 所}，大学 7 所7\text{ 所}，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所6\text{ 所} 学校对学生进行视力调查.
(1) 求应从小学，中学，大学中分别抽取的学校数目； (2) 若从抽取的 6 所6\text{ 所} 学校中随机抽取 2 所2\text{ 所} 学校做进一步数据分析，
(i) 列出所有可能的抽取结果； (ii) 求抽取的 2 所2\text{ 所} 学校均为小学的概率.

2012 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 已知 a=2a = 2，c=2c = \sqrt{2}，cos⁡A=−24\cos A = -\frac{\sqrt{2}}{4}.
(1) 求 sin⁡C\sin C 和 bb 的值； (2) 求 cos⁡(2A+π3)\cos\left(2A+\frac{\pi}{3}\right) 的值.

2012 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形，AD⊥PDAD \perp PD，BC=1BC = 1，PC=23PC = 2\sqrt{3}，PD=CD=2PD = CD = 2.
(1) 求异面直线 PAPA 与 BCBC 所成角的正切值； (2) 证明：平面 PDC⊥PDC \perp 平面 ABCDABCD； (3) 求直线 PBPB 与平面 ABCDABCD 所成角的正弦值.

2012 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，其前 nn 项和为 SnS_{n}，{bn}\{b_{n}\} 是等比数列，且 a1=b1=2a_{1} = b_{1} = 2，a4+b4=27a_{4} + b_{4} = 27，S4−b4=10S_{4} - b_{4} = 10.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 记 Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbnT_{n} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \dots + a_{n}b_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，证明： Tn−8=an−1bn+1T_{n} - 8 = a_{n-1}b_{n+1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，n>2n > 2）.

2012 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），点 P(55a,22a)P\left(\frac{\sqrt{5}}{5}a, \frac{\sqrt{2}}{2}a\right) 在椭圆上.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 AA 为椭圆的左顶点，OO 为坐标原点. 若点 QQ 在椭圆上且满足 ∣AQ∣=∣AO∣|AQ| = |AO|，求直线 OQOQ 的斜率的值.

2012 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=13x3+1−a2x2−ax−af(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1 - a}{2} x^2 - ax - a，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 a>0a > 0.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−2,0)(-2,0) 内恰有两个零点，求 aa 的取值范围； (3) 当 a=1a = 1 时，设函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+3][t, t + 3] 上的最大值为 M(t)M(t)，最小值为 m(t)m(t)，记 g(t)=M(t)−m(t)g(t) = M(t) - m(t)，求函数 g(t)g(t) 在区间 [−3,−1][-3, -1] 上的最小值.

2012 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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