一个几何体的三视图如图所示（单位：$\mathrm{m}$），则该几何体的体积为______$\mathrm{m}^3$.

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$AD \perp PD$，$BC = 1$，$PC = 2\sqrt{3}$，$PD = CD = 2$.

(1) 求异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成角的正切值； (2) 证明：平面 $PDC \perp$ 平面 $ABCD$； (3) 求直线 $PB$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值.