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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x2−2x=0}A = \{x \mid x^2 - 2x = 0\}，B={0,1,2}B = \{0, 1, 2\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{0}\{0\}
B.
{0,1}\{0, 1\}
C.
{0,2}\{0, 2\}
D.
{0,1,2}\{0, 1, 2\}

2014 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上为增函数的是（ ）
A.
y=x+1y = \sqrt{x + 1}
B.
y=(x−1)2y = (x - 1)^{2}
C.
y=2−xy = 2^{-x}
D.
y=log⁡0.5(x+1)y = \log_{0.5}(x + 1)

2014 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
曲线
{x=−1+cos⁡θy=2+sin⁡θ.\begin{cases} x = -1 + \cos \theta\\ y = 2 + \sin \theta. \end{cases}
（θ\theta 为参数）的对称中心（ ）
A.
在直线 y=2xy = 2x 上
B.
在直线 y=−2xy = -2x 上
C.
在直线 y=x−1y = x - 1 上
D.
在直线 y=x+1y = x + 1 上

2014 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
当 m=7m = 7，n=3n = 3 时，执行如图所示的程序框图，输出的 SS 值为（ ）
A.
77
B.
4242
C.
210210
D.
840840

2014 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq 的等比数列，则 q>1q > 1 是“{an}\{a_{n}\} 为递增数列”的（ ）
A.
充分且不必要条件
B.
必要且不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足
{x+y−2⩾0,kx−y+2⩾0,y⩾0,\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ kx - y + 2 \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
且 z=y−xz = y - x 的最小值为 −4-4，则 kk 的值为（ ）
A.
2
B.
−2-2
C.
12\frac{1}{2}
D.
−12-\frac{1}{2}

2014 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
在空间直角坐标系 OxyzOxyz 中，已知 A(2,0,0)A(2,0,0)，B(2,2,0)B(2,2,0)，C(0,2,0)C(0,2,0)，D(1,1,2)D(1,1,\sqrt{2})，若 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3} 分别表示三棱锥 D−ABCD-ABC 在 xOyxOy，yOzyOz，zOxzOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A.
S1=S2=S3S_{1} = S_{2} = S_{3}
B.
S1=S2S_{1} = S_{2} 且 S3≠S1S_{3}\neq S_{1}
C.
S1=S3S_{1} = S_{3} 且 S3≠S2S_{3}\neq S_{2}
D.
S2=S3S_{2} = S_{3} 且 S1≠S3S_{1}\neq S_{3}

2014 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
学生的语文，数学成绩均被评定为 3 个等级3\text{ 个等级}，依次为“优秀”“合格”“不合格”. 若学生甲的语文，数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”. 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A.
2 人2\text{ 人}
B.
3 人3\text{ 人}
C.
4 人4\text{ 人}
D.
5 人5\text{ 人}

2014 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
复数 (1+i1−i)2=\left(\frac{1 + \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}}\right)^2 =______.

2014 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，b=(2,1)\boldsymbol{b} = (2, 1)，且 λa+b=0\lambda \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = 0（λ∈R\lambda \in \mathbf{R}），则 ∣λ∣=|\lambda| =______.

2014 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
设双曲线 CC 经过点 (2,2)(2,2)，且与 y24−x2=1\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1 具有相同渐近线，则 CC 的方程为______；渐近线方程为______.

2014 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
若等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a7+a8+a9>0a_{7} + a_{8} + a_{9} > 0，a7+a10<0a_{7} + a_{10} < 0，则当 n=‾n =\underline{\hspace{2em}} 时，{an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和最大.

2014 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
把 5 件5\text{ 件} 不同产品摆成一排，若产品 AA 与产品 BB 相邻，且产品 AA 与产品 CC 不相邻，则不同的摆法有______ 种.

2014 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) （AA，ω\omega，φ\varphi 是常数，A>0A > 0，ω>0\omega > 0）. 若 f(x)f(x) 在区间 [π6,π2]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right] 上具有单调性，且 f(π2)=f(2π3)=−f(π6)f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -f\left(\frac{\pi}{6}\right)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______.

2014 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠B=π3\angle B = \frac{\pi}{3}，AB=8AB = 8，点 DD 在 BCBC 上，且 CD=2CD = 2，cos⁡∠ADC=17\cos \angle ADC = \frac{1}{7}.
(1) 求 sin⁡∠BAD\sin \angle BAD. (2) 求 BDBD，ACAC 的长.

2014 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
李明在 10 场10\text{ 场} 篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：
主场 21512客场 21312
主场 3128客场 3217
主场 4238客场 41815
主场 52420客场 52512
(1) 从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过 0.6 的概率； (2) 从上述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率； (3) 记 xx 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 XX 为李明在这场比赛中命中次数，比较 E(X)E(X) 与 xx 的大小. （只需要写出结论）

2014 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，正方形 AMDEAMDE 的边长为 2，BB，CC 分别为 AMAM，MDMD 的中点，在五棱锥 PP-ABCDEABCDE 中，FF 为棱 PEPE 的中点，平面 ABFABF 与棱 PDPD，PCPC 分别交于点 GG，HH.
(1) 求证：AB∥FGAB \parallel FG. (2) 若 PA⊥PA \perp 平面 ABCDEABCDE，且 PA=AEPA = AE，求直线 BCBC 与平面 ABFABF 所成角的大小，并求线段 PHPH 的长.

2014 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=xcos⁡x−sin⁡xf(x) = x\cos x - \sin x，x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
(1) 求证：f(x)⩽0f(x) \leqslant 0. (2) 若 a<sin⁡xx<ba < \frac{\sin x}{x} < b 在 (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) 上恒成立，求 aa 的最大值与 bb 的最小值.

2014 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2+2y2=4C: x^{2} + 2y^{2} = 4.
(1) 求椭圆 CC 的离心率. (2) 设 OO 为坐标原点，若点 AA 在椭圆 CC 上，点 BB 在直线 y=2y = 2 上，且 OA⊥OBOA \perp OB，试判断直线 ABAB 与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 的位置关系，并证明你的结论.

2014 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
对于数对序列 PP：(a1,b1)(a_1, b_1)，(a2,b2)(a_2, b_2)，⋯\cdots，(an,bn)(a_n, b_n)，记 T1(P)=a1+b1T_1(P) = a_1 + b_1，Tk(P)=bk+max⁡{Tk−1(P),a1+a2+⋯+ak}T_k(P) = b_k + \max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\}（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n），其中 max⁡{Tk−1(P),a1+a2+⋯+ak}\max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\} 表示 Tk−1(P)T_{k-1}(P) 和 a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \cdots + a_k 两个数中最大的数.
(1) 对于数对序列 PP：(2,5)(2,5)，(4,1)(4,1)，求 T1(P)T_{1}(P)，T2(P)T_{2}(P) 的值. (2) 记 mm 为 aa，bb，cc，dd 四个数中最小值，对于由两个数对 (a,b)(a, b)，(c,d)(c, d) 组成的数对序列 PP：(a,b)(a, b)，(c,d)(c, d) 和 P′P'：(c,d)(c, d)，(a,b)(a, b). 试分别对 m=am = a 和 m=dm = d 时两种情况比较 T2(P)T_{2}(P) 和 T2(P′)T_{2}(P') 的大小. (3) 在由 5 个数对5\text{ 个数对} (11,8)(11,8)，(5,2)(5,2)，(16,11)(16,11)，(11,11)(11,11)，(4,6)(4,6) 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 PP 使 T5(P)T_{5}(P) 最小，并写出 T5(P)T_{5}(P) 的值. （只需写出结论）

2014 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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