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19解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点是 (2,0)\left( 2,0 \right)，离心率为 12\frac{1}{2}.
(1) 求 EE 的方程； (2) 过点 A(1,1)A\left( 1,1 \right)，斜率为 kk（k≠±1k\neq \pm 1）的直线交椭圆 EE 于 BB，CC 两点，BB 关于 y=xy=x 的对称点为 DD，DCDC 交 y=xy=x 于 QQ，若 ∣S△ABQ−S△ACQ∣=58\left| S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ} \right|=\frac{5}{8}，求 kk.

2026 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），其离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，椭圆上一点到两焦点距离之和为 44.
(1) 求椭圆方程； (2) 设 O=(0,0)O=(0,0)，M(x0,y0)M(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）为椭圆上一点，直线 x0x+2y0y−4=0x_0x+2y_0y-4=0 与直线 y=2y=2，y=−2y=-2 交于 AA，BB. S1S_1，S2S_2 分别为 △OAM\triangle OAM 与 △OBM\triangle OBM 的面积，比较 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\dfrac{|OA|}{|OB|} 的大小.

2025 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），以椭圆 EE 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 (0,t)(0,t)（t>2t>\sqrt{2}）且斜率存在的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，过点 AA 和 C(0,1)C(0,1) 的直线 ACAC 与椭圆 EE 的另一个交点为 DD.
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率； (2) 若直线 BDBD 的斜率为 0，求 tt 的值.

2024 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的离心率为 53\dfrac{\sqrt{5}}{3}，AA，CC 分别是 EE 的上，下顶点，BB，DD 分别是 EE 的左，右顶点，∣AC∣=4|AC|=4.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设 PP 为第一象限内 EE 上的动点，直线 PDPD 与直线 BCBC 交于点 MM，直线 PAPA 与直线 y=−2y=-2 交于点 NN. 求证：MN∥CDMN\parallel CD.

2023 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,1)A(0,1)，焦距为 232\sqrt3.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(−2,1)P(-2,1) 作斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与 xx 轴交于点 MM，NN. 当 ∣MN∣=2|MN|=2 时，求 kk 的值.

2022 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,−2)A(0,-2)，以椭圆 EE 的四个顶点为顶点的四边形面积为 454\sqrt5.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(0,−3)P(0,-3) 斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与直线 y=−3y=-3 交于 MM，NN. 当 ∣PM∣+∣PN∣≤15|PM|+|PN|\le15 时，求 kk 的取值范围.

2021 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 过点 A(−2,−1)A(-2,-1)，且 a=2ba=2b.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 过点 B(−4,0)B(-4,0) 的直线 ll 交椭圆 CC 于点 MM，NN，直线 MAMA，NANA 分别交直线 x=−4x=-4 于点 PP，QQ. 求 ∣PBBQ∣\left|\dfrac{PB}{BQ}\right| 的值.

2020 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的右焦点为 (1,0)(1,0)，且经过点 A(0,1)A(0,1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 OO 为原点，直线 l:y=kx+tl:y=kx+t（t≠±1t\ne\pm1）与椭圆 CC 交于两个不同点 PP，QQ，直线 APAP 与 xx 轴交于点 MM，直线 AQAQ 与 xx 轴交于点 NN，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2，求证：直线 ll 经过定点.

2019 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 经过点 P(1,2)P(1,2). 过点 Q(0,1)Q(0,1) 的直线 ll 与抛物线 CC 有两个不同的交点 AA，BB，且直线 PAPA 交 yy 轴于 MM，直线 PBPB 交 yy 轴于 NN.
(1) 求直线 ll 的斜率的取值范围； (2) 设 OO 为原点，QM→=λQO→\overrightarrow{QM}=\lambda\overrightarrow{QO}，QN→=μQO→\overrightarrow{QN}=\mu\overrightarrow{QO}，求证：1λ+1μ\dfrac1\lambda+\dfrac1\mu 为定值.

2018 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 63\dfrac{\sqrt6}{3}，焦距为 222\sqrt2. 斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 MM 有两个不同的交点 AA，BB.
(1) 求椭圆 MM 的方程； (2) 若 k=1k=1，求 ∣AB∣\lvert AB\rvert 的最大值； (3) 设 P(−2,0)P(-2,0)，直线 PAPA 与椭圆 MM 的另一个交点为 CC，直线 PBPB 与椭圆 MM 的另一个交点为 DD. 若 CC，DD 和点 Q(−74,14)Q\left(-\dfrac74,\dfrac14\right) 共线，求 kk.

2018 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 过点 P(1,1)P(1,1). 过点 (0,12)\left(0,\dfrac12\right) 作直线 ll 与抛物线 CC 交于不同的两点 MM，NN，过点 MM 作 xx 轴的垂线分别与直线 OPOP，ONON 交于点 AA，BB，其中 OO 为原点.
(1) 求抛物线 CC 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2) 求证：AA 为线段 BMBM 的中点.

2017 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的两个顶点分别为 A(−2,0)A(-2,0)，B(2,0)B(2,0)，焦点在 xx 轴上，离心率为 32\dfrac{\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 点 DD 为 xx 轴上一点，过 DD 作 xx 轴的垂线交椭圆 CC 于不同的两点 MM，NN，过 DD 作 AMAM 的垂线交 BNBN 于点 EE. 求证：△BDE\triangle BDE 与 △BDN\triangle BDN 的面积之比为 4:54:5.

2017 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 32\dfrac{\sqrt3}{2}，A(a,0)A(a,0)，B(0,b)B(0,b)，O(0,0)O(0,0)，△OAB\triangle OAB 的面积为 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 PP 是椭圆 CC 上一点，直线 PAPA 与 yy 轴交于点 MM，直线 PBPB 与 xx 轴交于点 NN. 求证：∣AN∣⋅∣BM∣|AN|\cdot|BM| 为定值.

2016 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 过点 A(2,0)A(2,0)，B(0,1)B(0,1) 两点.
(1) 求椭圆 CC 的方程及离心率； (2) 设 PP 为第三象限内一点且在椭圆 CC 上，直线 PAPA 与 yy 轴交于点 MM，直线 PBPB 与 xx 轴交于点 NN，求证：四边形 ABNMABNM 的面积为定值.

2016 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，点 P(0,1)P(0,1) 和点 A(m,n)A(m,n)（m≠0m\neq 0）都在椭圆 CC 上，直线 PAPA 交 xx 轴于点 MM.
(1) 求椭圆 CC 的方程，并求点 MM 的坐标（用 mm，nn 表示）； (2) 设 OO 为原点，点 BB 与点 AA 关于 xx 轴对称，直线 PBPB 交 xx 轴于点 NN. 问：yy 轴上是否存在点 QQ，使得 ∠OQM=∠ONQ\angle OQM=\angle ONQ？若存在，求点 QQ 的坐标；若不存在，说明理由.

2015 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2+3y2=3C: x^{2} + 3y^{2} = 3，过点 D(1,0)D(1,0) 且不过点 E(2,1)E(2,1) 的直线与椭圆 CC 交于 AA，BB 两点，直线 AEAE 与直线 x=3x = 3 交于点 MM.
(1) 求椭圆 CC 的离心率； (2) 若直线 ABAB 垂直于 xx 轴，求直线 BMBM 的斜率； (3) 试判断直线 BMBM 与直线 DEDE 的位置关系，并说明理由.

2015 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2+2y2=4C: x^{2} + 2y^{2} = 4.
(1) 求椭圆 CC 的离心率. (2) 设 OO 为坐标原点，若点 AA 在椭圆 CC 上，点 BB 在直线 y=2y = 2 上，且 OA⊥OBOA \perp OB，试判断直线 ABAB 与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 的位置关系，并证明你的结论.

2014 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2+2y2=4C: x^{2} + 2y^{2} = 4.
(1) 求椭圆 CC 的离心率； (2) 设 OO 为原点，若点 AA 在直线 y=2y = 2 上，点 BB 在椭圆 CC 上，且 OA⊥OBOA \perp OB，求线段 ABAB 长度的最小值.

2014 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知 AA，BB，CC 是椭圆 W:x24+y2=1W: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 上的三个点，OO 是坐标原点.
(1) 当点 BB 是 WW 的右顶点，且四边形 OABCOABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2) 当点 BB 不是 WW 的顶点时，判断四边形 OABCOABC 是否可能为菱形，并说明理由.

2013 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
直线 y=kx+my = kx + m （m≠0m \neq 0）与椭圆 W:x24+y2=1W: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 相交于 AA，CC 两点，OO 是坐标原点.
(1) 当点 BB 的坐标为 (0,1)(0,1)，且四边形 OABCOABC 为菱形时，求 ACAC 的长； (2) 当点 BB 在 WW 上且不是 WW 的顶点时，证明：四边形 OABCOABC 不可能为菱形.

2013 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知曲线 C:(5−m)x2+(m−2)y2=8C:(5-m)x^2+(m-2)y^2=8（m∈Rm\in\mathbf{R}）.
(1) 若曲线 CC 是焦点在 xx 轴上的椭圆，求 mm 的取值范围； (2) 设 m=4m=4，曲线 CC 与 yy 轴的交点为 AA，BB（点 AA 位于点 BB 的上方），直线 y=kx+4y=kx+4 与曲线 CC 交于不同的两点 MM，NN，直线 y=1y=1 与直线 BMBM 交于点 GG. 求证：AA，GG，NN 三点共线.

2012 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的一个顶点为 A(2,0)A(2, 0)，离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，直线 y=k(x−1)y = k(x - 1) 与椭圆 CC 交于不同的两点 MM，NN.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 当 △AMN\triangle AMN 的面积为 103\frac{\sqrt{10}}{3} 时，求 kk 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由于 A(2,0)A(2,0) 是长轴顶点，所以 a=2a=2. 设焦半距为 cc，由离心率 e=ca=22e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2} 得 c=2c=\sqrt{2}. 再由 b2=a2−c2b^2=a^2-c^2，得 b2=4−2=2b^2=4-2=2. 所以椭圆方程为 x24+y22=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1.
\item 令 M(x1,y1)M(x_1,y_1)，N(x2,y2)N(x_2,y_2). 将 y=k(x−1)y=k(x-1) 代入椭圆方程，得到
(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0(1+2k^2)x^2-4k^2x+2k^2-4=0
因此
∣x1−x2∣=(−4k2)2−4(1+2k2)(2k2−4)1+2k2=26k2+41+2k2|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{(-4k^2)^2-4(1+2k^2)(2k^2-4)}}{1+2k^2} =\frac{2\sqrt{6k^2+4}}{1+2k^2}
线段 MNMN 在直线 y=k(x−1)y=k(x-1) 上，所以 ∣MN∣=∣x1−x2∣1+k2|MN|=|x_1-x_2|\sqrt{1+k^2}. 点 A(2,0)A(2,0) 到该直线的距离为 ∣2k−k∣1+k2=∣k∣1+k2\dfrac{|2k-k|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}. 从而
[△AMN]=12∣MN∣⋅∣k∣1+k2=∣k∣6k2+41+2k2[\triangle AMN]=\frac{1}{2}|MN|\cdot\frac{|k|}{\sqrt{1+k^2}} =\frac{|k|\sqrt{6k^2+4}}{1+2k^2}
令 u=k2u=k^2，由题设面积得
u(6u+4)(1+2u)2=109\frac{u(6u+4)}{(1+2u)^2}=\frac{10}{9}
即 7u2−2u−5=07u^2-2u-5=0. 因而 u=1u=1 或 u=−57u=-\frac{5}{7}. 因为 u=k2⩾0u=k^2\geqslant0，所以 u=1u=1，故 k=±1k=\pm1. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 G:x24+y2=1G: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1. 过点 (m,0)(m, 0) 作圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 的切线 ll，交椭圆 GG 于 AA，BB 两点.
(1) 求椭圆 GG 的焦点坐标和离心率； (2) 将 ∣AB∣\left|AB\right| 表示为 mm 的函数，并求 ∣AB∣\left|AB\right| 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，所以 a=2a=2，b=1b=1. 由 c2=a2−b2=3c^2=a^2-b^2=3，得 c=3c=\sqrt3. 因此焦点为 (−3,0)(-\sqrt3,0)、(3,0)(\sqrt3,0)，离心率为 e=ca=32e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt3}{2}. \item 过 (m,0)(m,0) 的圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 的切线存在的条件是 ∣m∣⩾1|m|\geqslant1. 先处理边界情形：当 m=1m=1 时，切线为 x=1x=1，与椭圆的交点为 (1,32)\left(1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)、(1,−32)\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)，所以 ∣AB∣=3|AB|=\sqrt3；当 m=−1m=-1 时，切线为 x=−1x=-1，与椭圆的交点为 (−1,32)\left(-1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)、(−1,−32)\left(-1,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)，所以 ∣AB∣=3|AB|=\sqrt3.
当 ∣m∣>1|m|>1 时，设切线写成 x+λy=mx+\lambda y=m，则其到原点的距离为 11，故 1+λ2=m21+\lambda^2=m^2. 代入椭圆方程，令 x=m−λyx=m-\lambda y，得 (λ2+4)y2−2mλy+m2−4=0(\lambda^2+4)y^2-2m\lambda y+m^2-4=0. 该方程关于 yy 的判别式为 Δ=4m2λ2−4(λ2+4)(m2−4)=48\Delta=4m^2\lambda^2-4(\lambda^2+4)(m^2-4)=48，所以两交点的纵坐标之差为 43λ2+4=43m2+3\dfrac{4\sqrt3}{\lambda^2+4}=\dfrac{4\sqrt3}{m^2+3}. 又直线方向向量可取 (λ,−1)(\lambda,-1)，其长度为 1+λ2=∣m∣\sqrt{1+\lambda^2}=|m|，故 ∣AB∣=43∣m∣m2+3\displaystyle\left|AB\right|=\frac{4\sqrt{3}\left|m\right|}{m^2+3}.
结合 m=±1m=\pm1 时的结果，∣AB∣=43∣m∣m2+3|AB|=\dfrac{4\sqrt3|m|}{m^2+3}，其中 m∈(−∞,−1]∪[1,+∞)m\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). 令 r=∣m∣⩾1r=|m|\geqslant1，则 ∣AB∣=g(r)=43rr2+3|AB|=g(r)=\dfrac{4\sqrt3r}{r^2+3}，且 g′(r)=43(3−r2)(r2+3)2g'(r)=\dfrac{4\sqrt3(3-r^2)}{(r^2+3)^2}. 所以 gg 在 [1,3][1,\sqrt3] 上递增，在 [3,+∞)[\sqrt3,+\infty) 上递减，最大值在 r=3r=\sqrt3 处取得，为 g(3)=2g(\sqrt3)=2. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 G:x2a2+y2b2=1G: \frac{x^2}{a^{2}} + \frac{y^2}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 63\frac{\sqrt{6}}{3}，右焦点为 (22,0)(2\sqrt{2}, 0)，斜率为 1 的直线 ll 与椭圆 GG 交于 AA，BB 两点. 以 ABAB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(−3,2)P(-3, 2).
(1) 求椭圆 GG 的方程； (2) 求 △PAB\triangle PAB 的面积.

2011 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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