已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$（$a>1$），过右焦点垂直于 $x$ 轴的直线被 $E$ 所截线段长为 $\sqrt{2}$。

（1）求 $E$ 的离心率；

（2）设 $O$ 为坐标原点，给定点 $G(t_0, 0)$（$t_0 \neq 0$）；$A(x_0, y_0)$（$y_0 \neq 0$）在 $E$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交于点 $B$，$AO$ 与 $GB$ 交于点 $P$。当 $A$ 在 $E$ 上运动时，$P$ 的轨迹为 $M$。

（i）求 $M$ 的方程；

（ii）曲线 $M$ 是否有中心点？当 $t_0$ 为何值时，$M$ 有中心点？当 $M$ 有中心点时，平移 $M$ 到 $M'$，使 $O$ 为 $M'$ 的中心点，说明 $M'$ 为何形状？

设椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$ ($a > 1$), $C_2: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$。若 $e_2 = \sqrt{3}e_1$, 则 $a =$ （ ）

椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, $A(-a,0)$, 右焦点 $F$, $P$ 在 $y$ 轴上, $\triangle APF$ 为正三角形。

(1) 求离心率;

(2) 过 $F$ 的直线交椭圆于 $M,N$, $\triangle AMN$ 面积最大时求直线方程。