已知椭圆 $A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$，椭圆被直线 $x = b$ 截得的线段长为 $\sqrt{3}$。

(1) 求 $A$ 的标准方程；

(2) 斜率为 $-\sqrt{3}$ 的直线与圆 $x^2 + y^2 = b^2$ 相切，且该直线交椭圆于 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ ($y_1 < y_2$)，$A$ 是椭圆的上顶点。记直线 $AP, AQ$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，求 $\frac{k_1}{k_2}$。

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 左焦点为 $F$, 右顶点为 $A$, 点 $P$ 在直线 $x = a$ 上, 直线 $FP$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$, $\triangle PFA$ 的面积为 $\frac{3}{2}$。

(1) 求椭圆的方程;

(2) 若过 $P$ 的直线与椭圆有唯一公共点 $B$ ($B$ 异于 $A$), 求证: $FP$ 平分 $\angle AFB$。