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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (a−x)7\left( a-\sqrt{x} \right)^7 的展开式中的 x2x^2 的系数是 280，则 a=a=（ ）
A.
2
B.
−2-2
C.
1
D.
−1-1

2026 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 (1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4(1-2x)^4=a_0-2a_1x+4a_2x^2-8a_3x^3+16a_4x^4，则 a0=a_0=；a1+a2+a3+a4=a_1+a_2+a_3+a_4=______.

2025 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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21计数原理与组合数学★★★★★
设 M={(xi,yi)∣xi,yi∈A}M=\{(x_i,y_i)\mid x_i,y_i\in A\}，A={1,2,3,4,5,6,7,8}A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. 从 MM 中选 nn 个有序数对构成一列 (x1,y1)(x_1,y_1)，…\dots，(xn,yn)(x_n,y_n). 若相邻两项满足 ∣xi+1−xi∣=3 或 4|x_{i+1}-x_i|=3\text{\ 或\ }4，∣yi+1−yi∣=4 或 3|y_{i+1}-y_i|=4\text{\ 或\ }3，i=1i=1，…\dots，n−1n-1，则该列称为 kk 列.
(1) 若 kk 列的第一项为 (3,3)(3,3)，求第二项. (2) 若 τ\tau 为 kk 列，且 ii 为奇数时 xi∈{1,2,7,8}x_i\in\{1,2,7,8\}，ii 为偶数时 xi∈{3,4,5,6}x_i\in\{3,4,5,6\}，判断 (3,2)(3,2) 与 (4,4)(4,4) 能否同时在 τ\tau 中，并说明. (3) 证明 MM 中所有元素都不构成 kk 列.

2025 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−x)4\left( x-\sqrt{x} \right)^4 的展开式中，x3x^3 的系数为（ ）
A.
66
B.
−6-6
C.
1212
D.
−12-12

2024 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知集合
M={(i,j,k,w)|i∈{1,2}, j∈{3,4}, k∈{5,6},w∈{7,8}, 且 i+j+k+w 为偶数}M=\left\{(i,j,k,w)\middle|\begin{gathered}i\in\{1,2\},\ j\in\{3,4\},\ k\in\{5,6\},\\ w\in\{7,8\},\ \text{且 }i+j+k+w\ \text{为偶数}\end{gathered}\right\}
.
给定数列 A:a1A:a_1，a2a_2，⋯\cdots，a8a_8，和序列 Ω:T1\Omega:T_1，T2T_2，⋯\cdots，TsT_s，其中 Tt=(it,jt,kt,wt)∈MT_t=(i_t,j_t,k_t,w_t)\in M（t=1t=1，22，⋯\cdots，ss）. 对数列 AA 进行如下变换：将 AA 的第 i1i_1，j1j_1，k1k_1，w1w_1 项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 T1(A)T_1(A)；将 T1(A)T_1(A) 的第 i2i_2，j2j_2，k2k_2，w2w_2 项均加 1，其余项不变，得到数列记作 T2T1(A)T_2T_1(A)；……；以此类推，得到 Ts⋯T2T1(A)T_s\cdots T_2T_1(A)，简记为 Ω(A)\Omega(A).
(1) 给定数列 A:1A:1，33，22，44，66，33，11，99 和序列 Ω:(1,3,5,7)\Omega:(1,3,5,7)，(2,4,6,8)(2,4,6,8)，(1,3,5,7)(1,3,5,7)，写出 Ω(A)\Omega(A)； (2) 是否存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 为 a1+2a_1+2，a2+6a_2+6，a3+4a_3+4，a4+2a_4+2，a5+8a_5+8，a6+2a_6+2，a7+4a_7+4，a8+4a_8+4？若存在，写出一个符合条件的 Ω\Omega；若不存在，请说明理由； (3) 若数列 AA 的各项均为正整数，且 a1+a3+a5+a7a_1+a_3+a_5+a_7 为偶数，求证：“存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8”.

2024 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−1x)5\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^5 的展开式中 xx 的系数为（ ）
A.
−80-80
B.
−40-40
C.
40
D.
80

2023 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(2x-1)^4=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0，则 a0+a2+a4=a_0+a_2+a_4=（ ）.
A.
40
B.
41
C.
−40-40
D.
−41-41

2022 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为有穷整数数列. 给定正整数 mm，若对任意的 n∈{1,2,…,m}n\in\{1,2,\dots,m\}，在 QQ 中存在 aia_i，ai+1a_{i+1}，…\dots，ai+ja_{i+j}（j≥0j\ge 0），使得 ai+ai+1+⋯+ai+j=na_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n，则称 QQ 为 mm-连续可表数列.
(1) 判断 Q:2Q:2，11，44 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 8-连续可表数列，求证：kk 的最小值为 4； (3) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 20-连续可表数列，且 a1+a2+⋯+ak<20a_1+a_2+\dots+a_k<20，求证：k≥7k\ge 7.

2022 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x3−1x)4\left(x^3-\dfrac{1}{x}\right)^4 的展开式中，常数项为______.

2021 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−2)5\left(\sqrt{x}-2\right)^5 的展开式中，x2x^2 的系数为（ ）
A.
−5-5
B.
55
C.
−10-10
D.
1010

2020 · 北京 · 第 3 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (1−2x)6(1-2x)^6 的展开式中，x2x^2 的系数为______（用数字作答）.

2016 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★☆☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出 ss 的值为（ ）
A.
88
B.
99
C.
2727
D.
3636

2016 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
从甲、乙等 55 名学生中随机选出 22 人，则甲被选中的概率为（ ）
A.
15\dfrac15
B.
25\dfrac25
C.
825\dfrac{8}{25}
D.
925\dfrac{9}{25}

2016 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (2+x)5(2 + x)^5 的展开式中，x3x^3 的系数为______.
\begin{answer} 40 \end{answer}
\begin{solution} 二项式展开式的通项为 C5k25−kxk\mathrm C_5^k2^{5-k}x^k. 令 k=3k=3，得 x3x^3 的系数为 C5322=10×4=40\mathrm C_5^3 2^2=10\times4=40. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
当 m=7m = 7，n=3n = 3 时，执行如图所示的程序框图，输出的 SS 值为（ ）
A.
77
B.
4242
C.
210210
D.
840840

2014 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
学生的语文，数学成绩均被评定为 3 个等级3\text{ 个等级}，依次为“优秀”“合格”“不合格”. 若学生甲的语文，数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”. 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A.
2 人2\text{ 人}
B.
3 人3\text{ 人}
C.
4 人4\text{ 人}
D.
5 人5\text{ 人}

2014 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
把 5 件5\text{ 件} 不同产品摆成一排，若产品 AA 与产品 BB 相邻，且产品 AA 与产品 CC 不相邻，则不同的摆法有______ 种.

2014 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
顾客请一位工艺师把 AA，BB 两件玉石原料各制成一件工艺品. 工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日） 如下：
则最短交货期为______个工作日\text{个工作日}.

2014 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
将序号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是______.

2013 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★★★☆☆
从 00，22 中选一个数字，从 11，33，55 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A.
2424
B.
1818
C.
1212
D.
66

2012 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字 22，33 组成四位数，且数字 22，33 至少都出现一次，这样的四位数共有______ 个（用数字作答）.

2011 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 A(0,0)A(0,0)，B(4,0)B(4,0)，C(t+4,3)C(t + 4,3)，D(t,3)D(t,3)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数. 其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则 N(0)=N(0) =______；N(t)N(t) 的所有可能取值为______.

2011 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（ ）
A.
A88A92\mathrm{A}_8^8\mathrm{A}_9^2
B.
A88C92\mathrm{A}_8^8\mathrm{C}_9^2
C.
A88A72\mathrm{A}_8^8\mathrm{A}_7^2
D.
A88C72\mathrm{A}_8^8\mathrm{C}_7^2

2010 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 Sn={X∣X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯ ,n}S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\} （n⩾2n \geqslant 2），对于 A=(a1,a2,⋯ ,an)A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})，B=(b1,b2,⋯ ,bn)∈SnB = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}，定义 AA 与 BB 的差为 A−B=(∣a1−b1∣,∣a2−b2∣,⋯ ,∣an−bn∣)A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)； AA 与 BB 之间的距离为 d(A,B)=∑i=1n∣ai−bi∣d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|.
(1) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，有 A−B∈SnA - B \in S_n，且 d(A−C,B−C)=d(A,B)d(A - C, B - C) = d(A, B)； (2) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，d(A,B)d(A, B)，d(A,C)d(A, C)，d(B,C)d(B, C) 三个数中至少有一个是偶数； (3) 设 P⊆SnP \subseteq S_n，PP 中有 mm（m⩾2m \geqslant 2） 个元素，记 PP 中所有两元素间距离的平均值为 d‾(P)\overline{d}(P). 证明： d‾(P)⩽mn2(m−1)\overline{d}(P) \leqslant \frac{mn}{2(m - 1)}.

2010 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1+2)5=a+b2\left(1 + \sqrt{2}\right)^5 = a + b\sqrt{2} （aa，bb 为有理数），则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 利用二项式展开并合并有理项与含 2\sqrt2 的项：(1+2)5=1+52+10⋅2+10⋅22+5⋅4+42=41+292(1+\sqrt2)^5=1+5\sqrt2+10\cdot2+10\cdot2\sqrt2+5\cdot4+4\sqrt2=41+29\sqrt2. 因而 a=41a=41，b=29b=29，所以 a+b=70a+b=70，故选 C. \end{solution}
A.
4545
B.
5555
C.
7070
D.
8080

2009 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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