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12计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 (1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4(1-2x)^4=a_0-2a_1x+4a_2x^2-8a_3x^3+16a_4x^4，则 a0=a_0=；a1+a2+a3+a4=a_1+a_2+a_3+a_4=______.

2025 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x3−1x)4\left(x^3-\dfrac{1}{x}\right)^4 的展开式中，常数项为______.

2021 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (1−2x)6(1-2x)^6 的展开式中，x2x^2 的系数为______（用数字作答）.

2016 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (2+x)5(2 + x)^5 的展开式中，x3x^3 的系数为______.
\begin{answer} 40 \end{answer}
\begin{solution} 二项式展开式的通项为 C5k25−kxk\mathrm C_5^k2^{5-k}x^k. 令 k=3k=3，得 x3x^3 的系数为 C5322=10×4=40\mathrm C_5^3 2^2=10\times4=40. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
把 5 件5\text{ 件} 不同产品摆成一排，若产品 AA 与产品 BB 相邻，且产品 AA 与产品 CC 不相邻，则不同的摆法有______ 种.

2014 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
顾客请一位工艺师把 AA，BB 两件玉石原料各制成一件工艺品. 工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日） 如下：
则最短交货期为______个工作日\text{个工作日}.

2014 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
将序号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是______.

2013 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字 22，33 组成四位数，且数字 22，33 至少都出现一次，这样的四位数共有______ 个（用数字作答）.

2011 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 A(0,0)A(0,0)，B(4,0)B(4,0)，C(t+4,3)C(t + 4,3)，D(t,3)D(t,3)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数. 其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则 N(0)=N(0) =______；N(t)N(t) 的所有可能取值为______.

2011 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
设 AA 是整数集的一个非空子集，对于 k∈Ak \in A，如果 k−1∉Ak - 1 \notin A 且 k+1∉Ak + 1 \notin A，那么 kk 是 AA 的一个“孤立元”，给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}，由 SS 的 33 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______ 个.

2009 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x2+1x3)n\left(x^{2} + \frac{1}{x^{3}}\right)^{n} 展开式的各项系数之和为 3232，则 n=‾n =\underline{\hspace{2em}}，其展开式中的常数项为______. （用数字作答）
\begin{answer} 55，1010 \end{answer}
\begin{solution} 令展开式中的 x2x^2 取 kk 次，则通项为 Cnk(x2)k(1x3)n−k=Cnkx5k−3n\mathrm C_n^k(x^2)^k\left(\frac1{x^3}\right)^{n-k}=\mathrm C_n^k x^{5k-3n}. 各项系数之和等于令 x=1x=1 时的值，所以 2n=322^n=32，得到 n=5n=5. 常数项要求 5k−3n=05k-3n=0，代入 n=5n=5 得 k=3k=3，其系数为 C53=10\mathrm C_5^3=10. 故填 55，1010. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1x3)5\left(x^{2} + \frac{1}{x^{3}}\right)^{5} 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______. （用数字作答）

2008 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−2x)7\left(\sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)^7 的展开式中，x2x^2 的系数为______.（用数字作答）

2006 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−2x)7\left(x - \frac{2}{x}\right)^7 的展开式中，x3x^3 的系数是______.（用数字作答）

2006 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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