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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x+2y)4(x+2y)^4 展开式中 x3yx^3y 的系数为______.

2026 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (x−1)6(x-1)^6 的展开式中，x3x^3 项系数为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x23+3x2)6\left(\frac{x^2}{3}+\frac{3}{x^2}\right)^6 的展开式中，常数项为______.

2024 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共 5 个项目，分别为整地做畦，旱田播种，作物移栽，田间灌溉，藤架搭建，规定每人参加其中 3 个项目. 假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的 3 个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______.

2024 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x3−1x)6\left( 2x^3-\frac{1}{x} \right)^6 的展开式中，x2x^2 项的系数为______.

2023 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x+3x2)5\left(\sqrt{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)^5 的展开式中，常数项是______.

2022 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x3+1x)6\left( 2x^3+\dfrac{1}{x} \right)^6 的展开式中，x6x^6 的系数是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x+2x2)5\left( x+\dfrac{2}{x^2} \right)^5 的展开式中，x2x^2 项的系数是______.

2020 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−18x3)8\left( 2x-\dfrac{1}{8x^3} \right)^8 的展开式中的常数项为______. \begin{answer} 28 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 NN 的值为 2020，则输出 TT 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−12x)5\left(x-\dfrac1{2\sqrt{x}}\right)^5 的展开式中，x2x^2 的系数为______.

2018 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 NN 的值为 2020，则输出 TT 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
用数字 11，22，33，44，55，66，77，88，99 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______ 个. （用数字作答）

2017 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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03概率与统计★☆☆☆☆
有 55 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红，黄，蓝，绿，紫. 从这 55 支彩笔中任取 22 支不同颜色的彩笔，则取出的 22 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A.
45\dfrac45
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2017 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如下的程序框图，运行相应的程序，则输出 SS 的值为（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2016 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−1x)8\left(x^2-\dfrac1x\right)^8 的展开式中 x7x^7 的系数为______（用数字作答）.

2016 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−14x)6\left(x - \frac{1}{4x}\right)^6 的展开式中，x2x^2 的系数为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 ii 的值为（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2015 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−1x)6\left(x - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6 的二项展开式中的常数项为______.

2013 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x2−1x)5\left(2x^{2} - \frac{1}{x}\right)^{5} 的二项展开式中，xx 的系数为（ ）
A.
1010
B.
−10-10
C.
4040
D.
−40-40

2012 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x2−2x)6\left(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{6} 的二项展开式中，x2x^{2} 的系数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 因根式及分母有意义，须有 x>0x>0. 二项展开式的第 k+1k+1 项为
C6k(x2)6−k(−2x)k=C6k(−2)k26−kx3−k\mathrm C_6^k \left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^{6-k} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^k =\mathrm C_6^k\frac{(-2)^k}{2^{6-k}}x^{3-k}
要得到 x2x^2，必须有 3−k=23-k=2，即 k=1k=1. 该项的系数为
C61−225=−1232=−38\mathrm C_6^1\frac{-2}{2^5} =-\frac{12}{32} =-\frac{3}{8}
因此选 C. \end{solution}
A.
−154-\frac{15}{4}
B.
154\frac{15}{4}
C.
−38-\frac{3}{8}
D.
38\frac{3}{8}

2011 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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15概率与统计★★★☆☆
编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，A16A_{16} 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格； (2) 从得分在区间 [20,30)[20, 30) 内的运动员中随机抽取 2 人，
(i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

2011 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
如图，用四种不同颜色给图中的 AA，BB，CC，DD，EE，FF 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由图可知，上方三角形为 △ADE\triangle ADE，下方三角形为 △BCF\triangle BCF，并且对应竖直线段为 ABAB，DCDC，EFEF. 先给 AA，DD，EE 涂色，有
4⋅3⋅2=244\cdot3\cdot2=24
种方法.
固定 AA，DD，EE 的颜色分别为 11，22，33，记第4种颜色为 44. 下面按 BB 的颜色分类计数. BB 不能取颜色 11. 当 B=2B=2 时，CC 可取 11，33，44：若 C=1C=1，则 FF 有1种取法；若 C=3C=3，则 FF 有2种取法；若 C=4C=4，则 FF 有1种取法，共4种. 当 B=3B=3 时，CC 可取 1,41,4，对应的 FF 各有2种取法，共4种. 当 B=4B=4 时，CC 可取 1,31,3，对应的 FF 分别有1种、2种取法，共3种. 因而固定上方三点颜色后，下方三点有
4+4+3=114+4+3=11
种涂法. 故总涂色方法数为 24⋅11=26424\cdot11=264，选 B. \end{solution}
A.
288288 种
B.
264264 种
C.
240240 种
D.
168168 种

2010 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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18概率与统计★★☆☆☆
有编号为 A1A_1，A2A_2，⋯\cdots，A10A_{10} 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm\mathrm{cm}），得到下面数据：
其中直径在区间 [1.48,1.52][1.48,1.52] 内的零件为一等品.
(1) 从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2) 从一等品零件中，随机抽取 2 个.
(i) 用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 个零件直径相等的概率.

2010 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
用数字 00，11，22，33，44，55，66 组成没有重复数字的四位数，其中个位，十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______ 个. （用数字作答）

2009 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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