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065分计数原理与组合数学★★☆☆☆
把甲，乙，丙，丁等 88 位员工分为 AA，BB 两个技术攻关组，要求每组 44 人，其中甲，乙同组，丙，丁不同组，则分组方案共有（ ）
A.
1010 种
B.
1212 种
C.
1616 种
D.
2424 种

2026 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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1917分概率与统计★★★★★
甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 pp（12<p<1\frac12<p<1），乙胜的概率为 qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立. 对正整数 k≥2k\ge 2，记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3p_3，p4p_4（用 pp 表示）； (2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4，求 pp； (3) 证明：对任意正整数 mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
(13+x)10\left( \dfrac{1}{3}+x \right)^{10} 的展开式中，各项系数中的最大值是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
有 6 个6\text{ 个} 相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中不放回地随机抽取 3 次3\text{ 次}，每次取 1 个1\text{ 个} 球. 记 mm 为前两次取出的球上数字的平均值，nn 为取出的三个球上数字的平均值，则 mm 与 nn 差的绝对值不超过 12\dfrac{1}{2} 的概率是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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04概率与统计★★☆☆☆
某独唱比赛的决赛阶段共有甲，乙，丙，丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定. 则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A.
16\dfrac16
B.
14\dfrac14
C.
13\dfrac13
D.
12\dfrac12

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有（ ）
A.
3030
B.
6060
C.
120120
D.
240240

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行下边的程序框图，输出的 n=n=（ ）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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14概率与统计★☆☆☆☆
从甲，乙等 55 名同学中随机选 33 名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
将 55 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶 44 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 11 个项目，每个项目至少分配 11 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
6060 种
B.
120120 种
C.
240240 种
D.
480480 种

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
44 名同学到 33 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 11 个小区，每个小区至少安排 11 名同学，则不同的安排方法共有______种.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
如图，将钢琴上的 1212 个键依次记为 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12}. 设 1≤i<j<k≤121\le i<j<k\le 12. 若 k−j=3k-j=3 且 j−i=4j-i=4，则 aia_i，aja_j，aka_k 为原位大三和弦；若 k−j=4k-j=4 且 j−i=3j-i=3，则称 aia_i，aja_j，aka_k 为原位小三和弦. 用这 1212 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A.
55
B.
88
C.
1010
D.
1515

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若输入的 k=0k=0，a=0a=0，则输出的 kk 为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
生物实验室有 55 只兔子，其中只有 33 只测量过某项指标. 若从这 55 只兔子中随机取出 33 只，则恰有 22 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23\dfrac23
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 22 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+2330=7+23. 在不超过 3030 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3030 的概率是（ ）
A.
112\dfrac1{12}
B.
114\dfrac1{14}
C.
115\dfrac1{15}
D.
118\dfrac1{18}

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ）.
A.
0.60.6
B.
0.50.5
C.
0.40.4
D.
0.30.3

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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