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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校开设了 44 门体育类选修课和 44 门艺术类选修课. 学生需从这 88 门课中选 22 门或 33 门课，并且每类选修课至少选 11 门，则不同的选课方案共有______种. （用数字作答）

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知多项式 (x+2)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5(x+2)(x-1)^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5，则 a2=a_2=______，a1+a2+a3+a4+a5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=______.

2022 · 浙江 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (x−1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4(x-1)^3+(x+1)^4=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}， a2+a3+a4=‾a_2+a_3+a_4=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 浙江 · 第 13 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 (1+2x)5=a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5(1+2x)^5=a_1+a_2x+a_3x^2+a_4x^3+a_5x^4+a_6x^5，则 a5=‾a_5=\underline{\hspace{2em}}；a1+a2+a3=‾a_1+a_2+a_3=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 浙江 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (2+x)9(\sqrt2+x)^9 的展开式中，常数项是______；系数为有理数的项的个数是______.

2019 · 浙江 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
二项式 (x3+12x)8\left(\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{2x}\right)^8 的展开式的常数项是______.

2018 · 浙江 · 第 14 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
从 11，33，55，77，99 中任取 22 个数字，从 00，22，44，66 中任取 22 个数字，一共可以组成______ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

2018 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★☆☆☆☆
已知多项式 (x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5(x+1)^3(x+2)^2=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5，则 a4=‾a_4=\underline{\hspace{2em}}，a5=‾a_5=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 浙江 · 第 13 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
从 66 男 22 女共 88 名学生中选出队长 11 人，副队长 11 人，普通队员 22 人组成 44 人服务队，要求服务队中至少有 11 名女生，共有______ 种不同的选法.

2017 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)6(1+y)4(1 + x)^6 (1 + y)^4 的展开式中，记 xmynx^{m}y^n 项的系数为 f(m,n)f(m,n)，则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3) =（ ）
A.
45
B.
60
C.
120
D.
210

2014 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
在 8 张奖券中有一，二，三等奖各 1 张，其余 5 张无奖. 将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有______种（用数字作答）.

2014 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
设二项式 (x−1x3)5\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^5 的展开式中常数项为 AA，则 A=A =______.

2013 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
将 AA，BB，CC，DD，EE，FF 六个字母排成一排，且 AA，BB 均在 CC 的同侧，则不同的排法共有______ 种. （用数字作答）

2013 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12概率与统计★☆☆☆☆
从 33 男 33 女共 66 名同学中任选 22 名（每名同学被选中的机会均等）. 这 22 名都是女同学的概率等于______.

2013 · 浙江 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
若从 11，22，33，⋯\cdots，99 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A.
60 种60\text{ 种}
B.
63 种63\text{ 种}
C.
65 种65\text{ 种}
D.
66 种66\text{ 种}

2012 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______.

2012 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
若将函数 f(x)=x5f(x) = x^5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a5(1+x)5f(x) = a_0 + a_1(1 + x) + a_2(1 + x)^2 + \cdots + a_5(1 + x)^5，其中 a0a_0，a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a5a_5 为实数，则 a3=a_3 =______.

2012 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12概率与统计★☆☆☆☆
从边长为 11 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为 22\frac{\sqrt{2}}{2} 的概率是______.

2012 · 浙江 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本. 若将其随机地抽取并摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
25\frac{2}{5}
C.
35\frac{3}{5}
D.
45\frac{4}{5}

2011 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设二项式 (x−ax)6\left(x - \frac{a}{\sqrt{x}}\right)^6 （a>0a > 0）的展开式中 x3x^3 的系数为 AA，常数项为 BB. 若 B=4AB = 4A，则 aa 的值是______.

2011 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 n⩾2n \geqslant 2，n∈Nn \in \mathbf{N}，(2x+12)n−(3x+13)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn\left(2x + \frac{1}{2}\right)^n - \left(3x + \frac{1}{3}\right)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n，将 ∣ak∣|a_k|（0⩽k⩽n0 \leqslant k \leqslant n）的最小值记为 TnT_n，则 T2=0T_2 = 0，T3=123−133T_3 = \frac{1}{2^3} - \frac{1}{3^3}，T4=0T_4 = 0，T5=125−135T_5 = \frac{1}{2^5} - \frac{1}{3^5}，⋯\cdots，TnT_n，⋯\cdots，其中 Tn=T_n =______. \begin{answer}
{0,n为偶数,12n−13n,n为奇数\begin{cases} 0, & n\text{为偶数},\\ \dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{3^n}, & n\text{为奇数} \end{cases}
\end{answer}
\begin{solution} 由二项式定理，xkx^k 的系数为
ak=Cnk(22k−n−32k−n)a_k=\mathrm C_n^k\left(2^{2k-n}-3^{2k-n}\right)
若 nn 为偶数，取 k=n2k=\frac n2，则 ak=Cnn2(1−1)=0a_k=\mathrm C_n^{\frac{n}{2}}(1-1)=0，故 Tn=0T_n=0.
若 nn 为奇数，当 0⩽k⩽n−120\leqslant k\leqslant\frac{n-1}{2} 时，令 r=n−2kr=n-2k，则 1⩽r⩽n1\leqslant r\leqslant n，并且
∣ak∣=Cnk(12r−13r)|a_k|=\mathrm C_n^k\left(\frac1{2^r}-\frac1{3^r}\right)
并且
(12r−13r)−(12r+1−13r+1)=12r+1−23r+1>0\left(\frac1{2^r}-\frac1{3^r}\right) -\left(\frac1{2^{r+1}}-\frac1{3^{r+1}}\right) =\frac1{2^{r+1}}-\frac2{3^{r+1}}>0
（r⩾1r\geqslant1），所以数列 12r−13r\frac1{2^r}-\frac1{3^r} 随正整数 rr 增大而减小，其值不小于 12n−13n\frac1{2^n}-\frac1{3^n}，再乘以 Cnk⩾1\mathrm C_n^k\geqslant1 后仍不小于该值.
当 n+12⩽k⩽n\frac{n+1}{2}\leqslant k\leqslant n 时，令 r=2k−n⩾1r=2k-n\geqslant1，则
∣ak∣=Cnk(3r−2r)⩾1>12n−13n|a_k|=\mathrm C_n^k(3^r-2^r)\geqslant1>\frac1{2^n}-\frac1{3^n}
而 k=0k=0 时恰好有 ∣a0∣=12n−13n|a_0|=\frac1{2^n}-\frac1{3^n}. 因此
Tn={0,n为偶数,12n−13n,n为奇数.T_n=\begin{cases} 0, & n\text{为偶数},\\ \dfrac1{2^n}-\dfrac1{3^n}, & n\text{为奇数}. \end{cases}
\end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★★☆
有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”，“立定跳远”，“肺活量”，“握力”，“台阶”五个项目的测试. 每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有______ 种. \begin{answer} 264 \end{answer}
\begin{solution} 上午固定测试除“握力”外的四个项目，先把四位有区别的同学安排到上午，方法数为 4!4!. 固定一种上午安排，记上午测试“台阶”的同学为甲，另外三位同学的上午项目分别为三个公共项目.
下午测试三个公共项目和“握力”，且不能与本人上午项目重复. 若“握力”安排给甲，则三个公共项目需避开三位同学各自的项目，安排数为三阶错排数 !3=2!3=2. 若“握力”安排给另外三位同学中的一位，有 33 种选法；剩下的三人分配三个公共项目，其中两人各有一个禁用项目，容斥计数为
3!−2⋅2!+1!=33!-2\cdot2!+1!=3
所以固定上午安排时，下午有
2+3×3=112+3\times3=11
种安排. 总安排数为
4!×11=2644!\times11=264
故填 264264. \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (x2−1x)5\left(x^2-\frac{1}{x}\right)^5 的展开式中，含 x4x^4 的项的系数是（ ）
A.
−10-10
B.
1010
C.
−5-5
D.
55

2009 · 浙江 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
观察下列等式：
C51+C55=23−2\mathrm C_5^1+\mathrm C_5^5 = 2^3-2，
C91+C95+C99=27+23\mathrm C_9^1+\mathrm C_9^5+\mathrm C_9^9 = 2^7+2^3，
C131+C135+C139+C1313=211−25\mathrm C_{13}^1+\mathrm C_{13}^5+\mathrm C_{13}^9+\mathrm C_{13}^{13} = 2^{11}-2^5，
C171+C175+C179+C1713+C1717=215+27\mathrm C_{17}^1+\mathrm C_{17}^5+\mathrm C_{17}^9+\mathrm C_{17}^{13}+\mathrm C_{17}^{17} = 2^{15}+2^7，
……
由以上等式推测到一个一般的结论： 对于 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，C4n+11+C4n+15+C4n+19+⋯+C4n+14n+1=‾\mathrm C_{4n+1}^1+\mathrm C_{4n+1}^5+\mathrm C_{4n+1}^9+\cdots+\mathrm C_{4n+1}^{4n+1}=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
甲，乙，丙 33 人站到共有 77 级的台阶上，若每级台阶最多站 22 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是______.

2009 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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