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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校开设了 44 门体育类选修课和 44 门艺术类选修课. 学生需从这 88 门课中选 22 门或 33 门课，并且每类选修课至少选 11 门，则不同的选课方案共有______种. （用数字作答）

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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055分概率与统计★★★☆☆
从 22 至 88 的 77 个整数中随机取 22 个不同的数，则这 22 个数互质的概率为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1−yx)(x+y)8\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^8 的展开式中 x2y6x^2y^6 的系数为______（用数字作答）.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+y2x)(x+y)5\left( x+\dfrac{y^2}{x} \right)\left( x+y \right)^5 的展开式中 x3y3x^3y^3 的系数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
55
B.
1010
C.
1515
D.
2020

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
设 OO 为正方形 ABCDABCD 的中心，在 OO，AA，BB，CC，DD 中任取 33 点，则取到的 33 点共线的概率为（ ）
A.
15\dfrac{1}{5}
B.
25\dfrac{2}{5}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
45\dfrac{4}{5}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行如图的程序框图，则输出的 n=n=（ ）
A.
1717
B.
1919
C.
2121
D.
2323

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 66 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”. 如图就是一“重卦”. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 33 个阳爻的概率是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
516\dfrac{5}{16}
B.
38\dfrac{3}{8}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
116\dfrac{1}{16}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★☆☆☆☆
从 2 位2\text{ 位} 女生，4 位4\text{ 位} 男生中选 3 人3\text{ 人} 参加科技比赛，且至少有 1 位1\text{ 位} 女生入选，则不同的选法共有______种\text{种}.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (1+x)n(1+x)^n 的展开式中第 44 项与第 88 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A.
2122^{12}
B.
2112^{11}
C.
2102^{10}
D.
292^9

2015 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
已知集合 A={(x,y)∣x2+y2⩽1, x,y∈Z}A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 1,\ x,y\in\mathbf{Z}\}，B={(x,y)∣∣x∣⩽2, ∣y∣⩽2, x,y∈Z}B=\{(x,y)\mid |x|\leqslant 2,\ |y|\leqslant 2,\ x,y\in\mathbf{Z}\}，定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)∣(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}A\oplus B=\{(x_1+x_2,y_1+y_2)\mid (x_1,y_1)\in A,\ (x_2,y_2)\in B\}，则 A⊕BA\oplus B 中元素的个数为（ ）
A.
77
B.
49
C.
45
D.
30

2015 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
若二项式 (2x+αx)7\left(2x + \frac{\alpha}{x}\right)^7 的展开式中 1x3\frac{1}{x^3} 的系数是 8484，则实数 α=\alpha =（ ）
A.
22
B.
43\sqrt[3]{4}
C.
11
D.
234\frac{\sqrt[3]{2}}{4}

2014 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 aa 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数. 将组成 aa 的 3 个3\text{ 个}数字按从小到大排成的三位数记为 I(a)I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D(a)D(a)（例如 a=815a = 815，则 I(a)=158I(a) = 158，D(a)=851D(a) = 851）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 aa，输出的结果是 b=b =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
在平面直角坐标系中，若点 P(x,y)P(x,y) 的坐标 xx，yy 均为整数，则称点 PP 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 SS，其内部的格点数记为 NN，边界上的格点数记为 LL. 例如图中 △ABC\triangle ABC 是格点三角形，对应的 S=1S=1，N=0N=0，L=4L=4.
(1) 图中格点四边形 DEFGDEFG 对应的 SS，NN，LL 分别是______； (2) 已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+cS=aN+bL+c，其中 aa，bb，cc 为常数. 若某格点多边形对应的 N=71N=71，L=18L=18，则 S=S=______. （用数值作答）

2013 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a∈Za \in \mathbf{Z}，且 0⩽a<130 \leqslant a < 13，若 512012+a5^{12012} + a 能被 13 整除，则 a=a =（ ）
A.
00
B.
11
C.
1111
D.
1212

2012 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 2222，121121，34433443，9424994249 等. 显然 22 位回文数有 99 个：1111，2222，3333，…，9999；33 位回文数有 9090 个：101101，111111，121121，…，191191，202202，…，999999.
(1) 4 位回文数有______ 个； (2) 2n+12n+1（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）位回文数有______ 个.

2012 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−13x)18\left(x-\dfrac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} 的展开式中含 x15x^{15} 的项的系数为______.（结果用数值表示）

2011 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
在 3030 瓶饮料中，有 33 瓶已过了保质期. 从这 3030 瓶饮料中任取 22 瓶，则至少取到 11 瓶已过保质期饮料的概率为______.（结果用最简分数表示）

2011 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
给 nn 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当 n⩽4n\leqslant4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：
由此推断，当 n=6n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有______ 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有______ 种.（结果用数值表示） {}

2011 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−13x)18\left(x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} 的展开式中含 x15x^{15} 的项的系数为______. （结果用数值表示）

2011 · 湖北 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
在 3030 瓶饮料中，有 33 瓶已过了保质期. 从这 3030 瓶饮料中任取 22 瓶，则至少取到 11 瓶已过保质期饮料的概率为______. （结果用最简分数表示）

2011 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★★★☆
现安排甲，乙，丙，丁，戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译，导游，礼仪，司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 甲，乙不会开车但能从事其他三项工作，丙，丁，戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A.
152
B.
126
C.
90
D.
54

2010 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x+34y)20(x + \sqrt[4]{3} y)^{20} 的展开式中，系数为有理数的项共有______ 项.

2010 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★☆☆☆☆
现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A.
565^{6}
B.
656^{5}
C.
5×6×5×4×3×22\frac{5\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2}{2}
D.
6×5×4×3×26 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2

2010 · 湖北 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (1−x2)10(1 - x^{2})^{10} 的展开中，x4x^{4} 的系数为______.

2010 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
将甲，乙，丙，丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲，乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ）
A.
1818
B.
2424
C.
3030
D.
3636

2009 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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