真题题库 | 数迹

055分概率与统计★★★☆☆

从

2

至

8

的

7

个整数中随机取

2

个不同的数，则这

2

个数互质的概率为（）

\dfrac16

\dfrac13

\dfrac12

\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

135分计数原理与组合数学★★☆☆☆

\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^8

的展开式中

x^2y^6

的系数为______（用数字作答）.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

\begin{answer} C \end{answer}

08计数原理与组合数学★★☆☆☆

\left( x+\dfrac{y^2}{x} \right)\left( x+y \right)^5

的展开式中

x^3y^3

的系数为（）

5

10

15

20

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

04概率与统计★★☆☆☆

设

O

为正方形

ABCD

的中心，在

O

A

B

C

D

中任取

3

点，则取到的

3

点共线的概率为（）

\dfrac{1}{5}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{4}{5}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

09计数原理与组合数学★★☆☆☆

执行如图的程序框图，则输出的

n=

（）

17

19

21

23

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的

06概率与统计★★☆☆☆

6

个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”. 如图就是一“重卦”. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有

3

个阳爻的概率是（）

\begin{answer} A \end{answer}

\dfrac{5}{16}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{16}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

15计数原理与组合数学★☆☆☆☆

从

2\text{ 位}

女生，

4\text{ 位}

男生中选

3\text{ 人}

参加科技比赛，且至少有

1\text{ 位}

女生入选，则不同的选法共有______

\text{种}

.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

06计数原理与组合数学★★☆☆☆

已知

\left(\sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}}\right)^5

的展开式中含

x^{\frac{3}{2}}

的项的系数为 30，则

a =

（）

\sqrt{3}

-\sqrt{3}

6

-6

2015 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

\begin{answer} A \end{answer}

04计数原理与组合数学★★☆☆☆

\left(\frac{1}{2}x - 2y\right)^5

的展开式中

x^2 y^3

的系数是（）

\begin{solution} 要得到

x^2y^3

，需从五个因式中取两次

\frac{x}{2}

，取三次

-2y

. 因而所求系数为

\mathrm C_5^3\left(\frac{1}{2}\right)^2(-2)^3 =10\cdot\frac{1}{4}\cdot(-8)=-20

故选 A. \end{solution}

-20

-5

5

20

2014 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答）

13计数原理与组合数学★★☆☆☆

\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6

2012 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

16计数原理与组合数学★★★★★

设

N=2^n

（

n\in\mathbf{N}^*

n\geqslant2

），将

N

个数

x_1

x_2

\cdots

x_N

依次放入编号为

1

2

\cdots

. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前

N

的

N

个位置，得到排列

P_0=x_1x_2\cdots x_N

\frac{N}{2}

和后

\frac{N}{2}

个位置，得到排列

P_1=x_1x_3\cdots x_{N-1}x_2x_4\cdots x_N

，将此操作称为

C

变换. 将

P_1

分成两段，每段

\frac{N}{2}

个数，并对每段作

C

变换，得到

P_2

；当

2\leqslant i\leqslant n-2

时，将

P_i

分成

2^i

段，每段

\frac{N}{2^i}

个数，并对每段作

C

变换，得到

P_{i+1}

. 例如，当

N=8

P_2=x_1x_5x_3x_7x_2x_6x_4x_8

，此时

x_7

位于

P_2

中的第

4

个位置.

(1) 当

N=16

x_7

位于

P_2

中的第______个位置； (2) 当

N=2^n

（

n\geqslant8

）时，

x_{173}

位于

P_4

中的第______个位置.

2012 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为

11计数原理与组合数学★★★★☆

29^{\circ} \mathrm{C} \sim 63^{\circ} \mathrm{C}

，精确度要求

\pm 1^{\circ} \mathrm{C}

. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

16计数原理与组合数学★★★★☆

对于

n \in \mathbf{N}^*

，将

n

表示为

n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0

. 当

i = 0

a_i = 1

，当

1 \leqslant i \leqslant k

a_i

为 0 或 1. 记

I(n)

为上述表示中

a_i

为 0 的个数（例如：

1 = 1 \times 2^0

4 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0

，则

I(1) = 0

I(4) = 2

），则

(1)

I(12) =

______； (2)

\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=

______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

16函数与初等函数★★★☆☆

给定

k \in \mathbf{N}^*

，设函数

f: \mathbf{N}^* \to \mathbf{N}^*

满足：对于任意大于

k

的正整数

n

f(n) = n - k

.

(1) 设

k = 1

，则其中一个函数

f

在

n = 1

处的函数值为______； (2) 设

k = 4

，且当

n \leqslant 4

2 \leqslant f(n) \leqslant 3

，则不同的函数

f

的个数为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息. 若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）

07计数原理与组合数学★★☆☆☆

2010 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

法安排实验，则第一次试点的加入量可以是______

10计数原理与组合数学★☆☆☆☆

已知一种材料的最佳加入量在

100 \mathrm{~g}

到

200 \mathrm{~g}

之间. 若用

0.618

\mathrm{g}

.

2010 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

15集合与逻辑基础★★★☆☆

若规定

E = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}\}

的子集

\{a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{n}}\}

为

E

的第

k

个子集，其中

k = 2^{i_{1} - 1} + 2^{i_{2} - 1} + 2^{i_{3} - 1} + \dots + 2^{i_{n} - 1}

，则

(1)

\{a_1, a_3\}

是

E

的第______ 个子集； (2)

E

的第211个子集是______.

2010 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

05计数原理与组合数学★★☆☆☆

从

10

名大学毕业生中选

3

个人担任村长助理，则甲，乙至少有

1

人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）

2009 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

10计数原理与组合数学★★☆☆☆

在

(1 + x)^{3} + (1 + \sqrt{x})^{3} + (1 + \sqrt[3]{x})^{3}

的展开式中，

x

的系数为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（）

05计数原理与组合数学★★☆☆☆

14

16

20

48

2009 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

11计数原理与组合数学★☆☆☆☆

在

(1 + \sqrt{x})^4

的展开式中，

x

的系数为______. （用数字作答）

2009 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

08计数原理与组合数学★★★☆☆

某市拟从

4

个重点项目和

6

个一般项目中各选

2

个项目作为本年度启动的项目，则重点项目

A

和一般项目

B

至少有一个被选中的不同选法种数是（）

\begin{solution} 全部选法共有

\mathrm C_4^2\mathrm C_6^2=6\times15=90

种. 若重点项目

A

和一般项目

B

均未被选，则从其余项目中选取的选法有

\mathrm C_3^2\mathrm C_5^2=3\times10=30

种. 因而至少选中

A

、

B

中一个的选法有

90-30=60

种，故选 C. \end{solution}

15

45

60

75

2008 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

13计数原理与组合数学★★☆☆☆

记

\left(2x + \frac{1}{x}\right)^{n}

的展开式中第

m

项的系数为

b_{m}

，若

b_{3} = 2b_{4}

，则

n =

______.

\begin{solution} 展开式的第

r+1

项为

\mathrm C_n^r(2x)^{n-r}\left(\frac1x\right)^r =\mathrm C_n^r2^{n-r}x^{n-2r}

因此

b_3=\mathrm C_n^2 2^{n-2}

b_4=\mathrm C_n^3 2^{n-3}

. 由

b_3=2b_4

得

\mathrm C_n^2 2^{n-2}=2\mathrm C_n^3 2^{n-3} \iff \mathrm C_n^2=\mathrm C_n^3

于是

\frac{n(n-1)}2=\frac{n(n-1)(n-2)}6

从而

n-2=3

，即

n=5

. \end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

15计数原理与组合数学★★★★☆

将杨辉三角中的奇数换成

1

，偶数换成

0

，得到如图所示的

0

-

1

三角数表. 从上往下数，第

1

次全行的数都为

1

的是第

1

行，第

2

次全行的数都为

1

的是第

3

行，…，第

n

次全行的数都为

1

的是第______ 行；第

61

行中

1

的个数是______.

| 第

1

1

| | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 第

1

2

1

0

1

| | 第

3

1

1

1

1

| | 第

4

1

0

0

0

1

| | 第

5

1

1

0

0

1

1

2007 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题