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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
某学校开设了 44 门体育类选修课和 44 门艺术类选修课. 学生需从这 88 门课中选 22 门或 33 门课，并且每类选修课至少选 11 门，则不同的选课方案共有______种. （用数字作答）

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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055分概率与统计★★★☆☆
从 22 至 88 的 77 个整数中随机取 22 个不同的数，则这 22 个数互质的概率为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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135分计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1−yx)(x+y)8\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^8 的展开式中 x2y6x^2y^6 的系数为______（用数字作答）.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+y2x)(x+y)5\left( x+\dfrac{y^2}{x} \right)\left( x+y \right)^5 的展开式中 x3y3x^3y^3 的系数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
55
B.
1010
C.
1515
D.
2020

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
设 OO 为正方形 ABCDABCD 的中心，在 OO，AA，BB，CC，DD 中任取 33 点，则取到的 33 点共线的概率为（ ）
A.
15\dfrac{1}{5}
B.
25\dfrac{2}{5}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
45\dfrac{4}{5}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行如图的程序框图，则输出的 n=n=（ ）
A.
1717
B.
1919
C.
2121
D.
2323

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 66 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”. 如图就是一“重卦”. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 33 个阳爻的概率是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
516\dfrac{5}{16}
B.
38\dfrac{3}{8}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
116\dfrac{1}{16}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★☆☆☆☆
从 2 位2\text{ 位} 女生，4 位4\text{ 位} 男生中选 3 人3\text{ 人} 参加科技比赛，且至少有 1 位1\text{ 位} 女生入选，则不同的选法共有______种\text{种}.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x+2)5(x + 2)^{5} 的展开式中，x2x^{2} 的系数等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
一个二元码是由 00 和 11 组成的数字串 x1x2⋯xnx_{1}x_{2}\cdots x_{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），其中 xkx_{k}（k=1k=1，22，…\dots，nn）称为第 kk 位码元. 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 00 变为 11，或者由 11 变为 00）. 已知某种二元码 x1x2⋯x7x_{1}x_{2}\cdots x_{7} 的码元满足如下校验方程组：
{x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,\begin{cases} x_{4}\oplus x_{5}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{2}\oplus x_{3}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{1}\oplus x_{3}\oplus x_{5}\oplus x_{7}=0, \end{cases}
，其中运算 ⊕\oplus 定义为：0⊕0=00\oplus 0=0，0⊕1=10\oplus 1=1，1⊕0=11\oplus 0=1，1⊕1=01\oplus 1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 kk 位发生码元错误后变成了 11011011101101，那么利用上述校验方程组可判定 kk 等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
用 aa 代表红球，bb 代表蓝球，cc 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 11 个红球和 11 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 (1+a)(1+b)(1 + a)(1 + b) 的展开式 1+a+b+ab1 + a + b + ab 表示出来. 如：“1”表示一个球都不取，“aa”表示取出一个红球，而“abab”则表示把红球和蓝球都取出来. 以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 55 个无区别的红球，55 个无区别的蓝球，55 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A.
(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5(1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5)(1 + b^5)(1 + c)^5
B.
(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5(1 + a^5)(1 + b + b^2 + b^3 + b^4 + b^5)(1 + c)^5
C.
(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)(1 + a)^5(1 + b + b^2 + b^3 + b^4 + b^5)(1 + c^5)
D.
(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)(1 + a^5)(1 + b)^5(1 + c + c^2 + c^3 + c^4 + c^5)

2014 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
若集合 {a,b,c,d}={1,2,3,4}\{a, b, c, d\} = \{1, 2, 3, 4\}，且下列四个关系：
① a=1a = 1； ② b≠1b \neq 1； ③ c=2c = 2； ④ d≠4d \neq 4.
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)(a, b, c, d) 的个数是______.

2014 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 nn 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 程序开始时 n=1n=1. 执行一次 n=n+1n=n+1 后，n=2n=2，此时 2n=22=42^n=2^2=4，不满足 2n>n22^n>n^2，程序输出 n=2n=2. 因此选 B. \end{solution}
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2014 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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20概率与统计★★★☆☆
根据世行 20132013 年新标准，人均 GDP\mathrm{GDP} 低于 1035 美元1035\ \text{美元} 为低收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 1035—4085 美元1035\text{—}4085\ \text{美元} 为中等偏下收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 4085—12616 美元4085\text{—}12616\ \text{美元} 为中等偏上收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 不低于 12616 美元12616\ \text{美元} 为高收入国家. 某城市有 55 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP\mathrm{GDP} 如下表：
(1) 判断该城市人均 GDP\mathrm{GDP} 是否达到中等偏上收入国家标准； (2) 现从该城市 55 个行政区中随机抽取 22 个，求抽到的 22 个行政区人均 GDP\mathrm{GDP} 都达到中等偏上收入国家标准的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 以全市人口为 11，按各行政区人口比例加权，城市人均 GDP\mathrm{GDP} 为 0.25×8000+0.30×4000+0.15×6000+0.10×3000+0.20×10000=64000.25\times8000+0.30\times4000+0.15\times6000+0.10\times3000+0.20\times10000=6400 美元. 因为 4085⩽6400<126164085\leqslant6400<12616，所以该城市达到中等偏上收入国家标准. \item 达到中等偏上收入国家标准的行政区为 A、C、E，共 33 个. 从 55 个行政区中随机抽取 22 个，基本事件总数为 C52=10\mathrm C_5^2=10，有利事件数为从 A、C、E 中抽取 22 个，即 C32=3\mathrm C_3^2=3. 因此所求概率为 C32C52=310\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
满足 aa，b∈{−1,0,1,2}b \in \{-1, 0, 1, 2\}，且关于 xx 的方程 ax2+2x+b=0ax^{2} + 2x + b = 0 有实数解的有序数对 (a,b)(a, b) 的个数为（ ）
A.
14
B.
13
C.
12
D.
10

2013 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
当 x∈Rx \in \mathbf{R}，∣x∣<1|x| < 1 时，有如下表达式： 1+x+x2+⋯+xn+⋯=11−x1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}. 两边同时积分得： ∫0121 dx+∫012x dx+∫012x2 dx+⋯+∫012xn dx+⋯=∫01211−x dx\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}\,\text{d}x + \cdots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n}\,\text{d}x + \cdots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x}\,\text{d}x， 从而得到如下等式： 1×12+12×(12)2+13×(12)3+⋯+1n+1×(12)n+1+⋯=ln⁡21 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \cdots = \ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： Cn0×12+12Cn1×(12)2+13Cn2×(12)3+⋯+1n+1Cnn×(12)n+1=‾\mathrm C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm C_{n}^{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \mathrm C_{n}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \mathrm C_{n}^{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(a+x)4(a + x)^{4} 的展开式中 x3x^{3} 的系数等于 88，则实数 a=a =______.

2012 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案；方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用；要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小；例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图 1，则最优设计方案如图 2；此时铺设道路的最小总费用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为______.

2012 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(1+2x)5(1 + 2x)^{5} 的展开式中，x2x^{2} 的系数等于（ ）
A.
80
B.
40
C.
20
D.
10

2011 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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16概率与统计★★★☆☆
从集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 的所有非空子集中，等可能地取出一个.
(1) 记性质 rr：集合中的所有元素之和为 1010，求所取出的非空子集满足性质 rr 的概率； (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 ξ\xi，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 EξE_{\xi}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 非空子集共有25−1=312^5-1=31个，且每个被取出的可能性相同.元素和为1010的非空子集为 {1,4,5}\{1,4,5\}、{2,3,5}\{2,3,5\}、{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}，共33个，所以P(r)=331P(r)=\dfrac{3}{31}.
\item 记所取子集的元素个数为ξ\xi.当ξ=k\xi=k时，从55个元素中选出kk个，共有C5k\mathrm C_5^k种，故 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} ξ\xi&11&22&33&44&55\ \hline PP&531\dfrac{5}{31}&1031\dfrac{10}{31}&1031\dfrac{10}{31}&531\dfrac{5}{31}&131\dfrac{1}{31} \end{tabular} \end{center} 并且
Eξ=1⋅531+2⋅1031+3⋅1031+4⋅531+5⋅131=8031E_{\xi}=1\cdot\frac{5}{31}+2\cdot\frac{10}{31}+3\cdot\frac{10}{31}+4\cdot\frac{5}{31}+5\cdot\frac{1}{31} =\frac{80}{31}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班级要从 44 名男生，22 名女生中选派 44 人参加某次社区服务，如果要求至少有 11 名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 从 6 人中任取 4 人共有 C64\mathrm C_6^4 种. 扣除没有女生、即 4 名男生全被选中的 C44\mathrm C_4^4 种，得到
C64−C44=15−1=14\mathrm C_6^4-\mathrm C_4^4=15-1=14
故选 A. \end{solution}
A.
1414
B.
2424
C.
2828
D.
4848

2008 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x−2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(x - 2)^{5} = a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}，则 a1+a2+a3+a4+a5=‾a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 31 \end{answer} \begin{solution} 由二项式展开式
(x−2)5=x5−10x4+40x3−80x2+80x−32(x-2)^5=x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32
可得 a5=1a_5=1，a4=−10a_4=-10，a3=40a_3=40，a2=−80a_2=-80，a1=80a_1=80. 因而
a1+a2+a3+a4+a5=80−80+40−10+1=31a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=80-80+40-10+1=31
\end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班级要从 4 名男生，2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 从 6 人中任取 4 人共有 C64\mathrm C_6^4 种方案，其中不含女生的方案只有从 4 名男生中全取，计 C44\mathrm C_4^4 种. 因而至少有 1 名女生的方案数为 C64−C44=15−1=14\mathrm C_6^4-\mathrm C_4^4=15-1=14，故选 A. \end{solution}
A.
14
B.
24
C.
28
D.
48

2008 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)9\left(x + \frac{1}{x}\right)^9 展开式中 x2x^2 的系数是______.（用数字作答）
\begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 按二项式定理，展开式的第 k+1k+1 项为 C9kx9−k(1x)k=C9kx9−2k\mathrm C_9^k x^{9-k}\left(\frac1x\right)^k=\mathrm C_9^k x^{9-2k}，其中 k=0k=0，11，…\ldots，99. 指数 9−2k9-2k 始终为奇数，不可能等于 2，所以展开式中没有 x2x^2 项，其系数为 00. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
把 1+(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n1 + (1 + x) + (1 + x)^2 + \cdots + (1 + x)^n 展开成关于 xx 的多项式，其各项系数和为 ana_n，则 lim⁡n→∞2an−1an+1\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2a_n - 1}{a_n + 1} 等于（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2007 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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