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共找到 57 题
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065分计数原理与组合数学★★☆☆☆
把甲，乙，丙，丁等 88 位员工分为 AA，BB 两个技术攻关组，要求每组 44 人，其中甲，乙同组，丙，丁不同组，则分组方案共有（ ）
A.
1010 种
B.
1212 种
C.
1616 种
D.
2424 种

2026 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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1917分概率与统计★★★★★
甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 pp（12<p<1\frac12<p<1），乙胜的概率为 qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立. 对正整数 k≥2k\ge 2，记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3p_3，p4p_4（用 pp 表示）； (2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4，求 pp； (3) 证明：对任意正整数 mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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145分计数原理与组合数学★★★☆☆
在如图的 4×44\times 4 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有______ 种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是______.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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035分概率与统计★★☆☆☆
某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 6060 名学生. 已知该校初中部和高中部分别有 400400 名和 200200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A.
(40045)(20015)\dbinom{400}{45}\dbinom{200}{15} 种
B.
(40020)(20040)\dbinom{400}{20}\dbinom{200}{40} 种
C.
(40030)(20030)\dbinom{400}{30}\dbinom{200}{30} 种
D.
(40040)(20020)\dbinom{400}{40}\dbinom{200}{20} 种

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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055分计数原理与组合数学★★☆☆☆
有甲，乙，丙，丁，戊 55 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A.
1212 种
B.
2424 种
C.
3636 种
D.
4848 种

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 5 题 · 选择题

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126分数列★★★★☆
设正整数 n=a0⋅20+a1⋅21+⋯+ak⋅2kn=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots +a_k\cdot 2^k，其中 ai∈{0,1}a_i\in \{0,1\}，记 ω(n)=a0+a1+⋯+ak\omega\left( n \right)=a_0+a_1+\cdots +a_k. 则（ ）
\begin{answer} ACD \end{answer}
A.
ω(2n)=ω(n)\omega\left( 2n \right)=\omega\left( n \right)
B.
ω(2n+3)=ω(n)+1\omega\left( 2n+3 \right)=\omega\left( n \right)+1
C.
ω(8n+5)=ω(4n+3)\omega\left( 8n+5 \right)=\omega\left( 4n+3 \right)
D.
ω(2n−1)=n\omega\left( 2^n-1 \right)=n

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
44 名同学到 33 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 11 个小区，每个小区至少安排 11 名同学，则不同的安排方法共有______种.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
如图，将钢琴上的 1212 个键依次记为 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12}. 设 1≤i<j<k≤121\le i<j<k\le 12. 若 k−j=3k-j=3 且 j−i=4j-i=4，则 aia_i，aja_j，aka_k 为原位大三和弦；若 k−j=4k-j=4 且 j−i=3j-i=3，则称 aia_i，aja_j，aka_k 为原位小三和弦. 用这 1212 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A.
55
B.
88
C.
1010
D.
1515

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若输入的 k=0k=0，a=0a=0，则输出的 kk 为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
生物实验室有 55 只兔子，其中只有 33 只测量过某项指标. 若从这 55 只兔子中随机取出 33 只，则恰有 22 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23\dfrac23
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 22 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+2330=7+23. 在不超过 3030 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3030 的概率是（ ）
A.
112\dfrac1{12}
B.
114\dfrac1{14}
C.
115\dfrac1{15}
D.
118\dfrac1{18}

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ）.
A.
0.60.6
B.
0.50.5
C.
0.40.4
D.
0.30.3

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x3+12x)5\left(x^{3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{5} 的展开式中 x8x^{8} 的系数是______. （用数字作答）
\begin{answer} 52\frac{5}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设通项中取 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} 的因子数为 kk，则该项为
C5k(x3)5−k(12x)k\mathrm C_5^k\left(x^3\right)^{5-k}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^k
其中 xx 的指数为 3(5−k)−k2=15−7k23(5-k)-\frac{k}{2}=15-\frac{7k}{2}. 令其等于 88，得 k=2k=2. 因此所求系数为
C52(12)2=52\mathrm C_5^2\left(\frac12\right)^2=\frac{5}{2}
\end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★★★☆
某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.
7272
B.
120120
C.
144144
D.
168168

2014 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.
(1) 求频率分布直方图中 aa 的值； (2) 分别求出成绩落在 [50,60)[50,60) 与 [60,70)[60,70) 中的学生人数； (3) 从成绩在 [50,70)[50,70) 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 [60,70)[60,70) 中的概率.

2014 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
从 33 名骨科、44 名脑外科和 55 名内科医生中选派 55 人组成一个抗震救灾医疗小组，骨科、脑外科和内科医生都至少有 11 人的选派方法种数是______.
\begin{answer} 590590 \end{answer}
\begin{solution} 从 1212 名医生中任选五人共有
C125\mathrm C_{12}^{5}
种. 减去没有骨科医生、没有脑外科医生、没有内科医生的情况，再加回同时缺少两个科室的情况，得到
N=C125−C95−C85−C75+C55+C45+C35=792−126−56−21+1+0+0=590.\begin{aligned} N &=\mathrm C_{12}^{5}-\mathrm C_{9}^{5}-\mathrm C_{8}^{5}-\mathrm C_{7}^{5}\\ &\quad+\mathrm C_{5}^{5}+\mathrm C_{4}^{5}+\mathrm C_{3}^{5}\\ &=792-126-56-21+1+0+0=590. \end{aligned}
所以选派方法数为 590590. \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若甲，乙，丙三人随机地站成一排，则甲，乙两人相邻而站的概率为______. \begin{answer} 23\frac{2}{3} \end{answer} \begin{solution} 三人的全排列共有 3!=63!=6 种. 把甲、乙看成一个整体时，整体与丙有 2!2! 种排法，甲、乙在整体内还有 2!2! 种次序，所以甲乙相邻的排法有
2!×2!=42!\times2!=4
种. 因此所求概率为
46=23\frac46=\frac23
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+12x)8\left(\sqrt{x} +\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^8 的展开式中常数项为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 展开式的通项为 Tr+1=C8r(x)8−r(12x)r=C8r2−rx4−rT_{r+1}=\mathrm C_{8}^{r}(\sqrt{x})^{8-r}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{r} =\mathrm C_{8}^{r}2^{-r}x^{4-r}，r=0r=0，11，…\ldots，88 常数项要求 4−r=04-r=0，所以 r=4r=4. 因此常数项为
C842−4=7016=358\mathrm C_{8}^{4}2^{-4}=\frac{70}{16}=\frac{35}{8}
故选 B. \end{solution}
A.
3516\frac{35}{16}
B.
358\frac{35}{8}
C.
354\frac{35}{4}
D.
105105

2012 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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15概率与统计★★★★☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 11 节艺术课的概率为______.
\begin{answer} 35\frac{3}{5} \end{answer}
\begin{solution} 只考虑文化课和艺术课的类别排列即可. 三节文化课的位置从六个位置中选取，基本事件总数为
C63=20\mathrm C_{6}^{3}=20
设三节文化课之间的三段艺术课数分别为 g1g_{1}，g2g_{2}，并令两端的艺术课数为 g0g_{0}，g3g_{3}. 则 g0+g1+g2+g3=3g_{0}+g_{1}+g_{2}+g_{3}=3，g1g_{1}，g2∈{0,1}g_{2}\in\{0,1\}. 当 (g1,g2)=(0,0)(g_{1},g_{2})=(0,0) 时有 44 种；当恰有一个为 11 时有 3+3=63+3=6 种；当 (g1,g2)=(1,1)(g_{1},g_{2})=(1,1) 时有 22 种. 所以符合条件的排列有 4+6+2=124+6+2=12 种，所求概率为
1220=35\frac{12}{20}=\frac35
\end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(1−3x)5(1-3x)^5 的展开式中 x3x^3 的系数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 二项式展开的通项为 C5k(1)5−k(−3x)k\mathrm C_5^k(1)^{5-k}(-3x)^k. 含 x3x^3 的项对应 k=3k=3，其系数为 C53(−3)3=10×(−27)=−270\mathrm C_5^3(-3)^3=10\times(-27)=-270，故选 A. \end{solution}
A.
−270-270
B.
−90-90
C.
9090
D.
270270

2012 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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15概率与统计★★★☆☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 11 节艺术课的概率为______. （用数字作答）
\begin{answer} 15\frac{1}{5} \end{answer}
\begin{solution} 把语文、数学、外语和三门艺术课视为六门彼此不同的课，课表的总排法数为 6!6!. 先排三门艺术课，有 3!3! 种排法；三门艺术课排好后形成左端、两课之间和右端共 44 个空隙. 为了使相邻两节文化课之间至少间隔一节艺术课，三门文化课必须分别放入其中三个不同空隙，有 C43\mathrm C_4^3 种选法，再排列三门文化课，有 3!3! 种排法. 因此有利排法数为 3!C433!3!\mathrm C_4^3 3!，所求概率为 3!C433!6!=15\frac{3!\mathrm C_4^3 3!}{6!}=\frac15. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1+3x)n(1 + 3x)^{n} （其中 n∈Nn\in \mathbf{N} 且 n⩾6n\geqslant 6 ）的展开式中 x5x^{5} 与 x6x^{6} 的系数相等，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 展开式中 x5x^5 的系数为 Cn535\mathrm C_n^5 3^5，x6x^6 的系数为 Cn636\mathrm C_n^6 3^6. 由题设，得 Cn535=Cn636\mathrm C_n^5 3^5=\mathrm C_n^6 3^6，即 1=3Cn6Cn5=3⋅n−561=3\dfrac{\mathrm C_n^6}{\mathrm C_n^5}=3\cdot\dfrac{n-5}{6}. 因而 n=7n=7，故选 B. \end{solution}
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2011 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(1+2x)6\left(1 + 2x\right)^{6} 的展开式中 x4x^{4} 的系数是______.

2011 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
从甲，乙等1010位同学中任选33位去参加某项活动，则所选33位中有甲但没有乙的概率为______.

2011 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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