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1917分概率与统计★★★★★
甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 pp（12<p<1\frac12<p<1），乙胜的概率为 qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立. 对正整数 k≥2k\ge 2，记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3p_3，p4p_4（用 pp 表示）； (2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4，求 pp； (3) 证明：对任意正整数 mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
设 M={(xi,yi)∣xi,yi∈A}M=\{(x_i,y_i)\mid x_i,y_i\in A\}，A={1,2,3,4,5,6,7,8}A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. 从 MM 中选 nn 个有序数对构成一列 (x1,y1)(x_1,y_1)，…\dots，(xn,yn)(x_n,y_n). 若相邻两项满足 ∣xi+1−xi∣=3 或 4|x_{i+1}-x_i|=3\text{\ 或\ }4，∣yi+1−yi∣=4 或 3|y_{i+1}-y_i|=4\text{\ 或\ }3，i=1i=1，…\dots，n−1n-1，则该列称为 kk 列.
(1) 若 kk 列的第一项为 (3,3)(3,3)，求第二项. (2) 若 τ\tau 为 kk 列，且 ii 为奇数时 xi∈{1,2,7,8}x_i\in\{1,2,7,8\}，ii 为偶数时 xi∈{3,4,5,6}x_i\in\{3,4,5,6\}，判断 (3,2)(3,2) 与 (4,4)(4,4) 能否同时在 τ\tau 中，并说明. (3) 证明 MM 中所有元素都不构成 kk 列.

2025 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知集合
M={(i,j,k,w)|i∈{1,2}, j∈{3,4}, k∈{5,6},w∈{7,8}, 且 i+j+k+w 为偶数}M=\left\{(i,j,k,w)\middle|\begin{gathered}i\in\{1,2\},\ j\in\{3,4\},\ k\in\{5,6\},\\ w\in\{7,8\},\ \text{且 }i+j+k+w\ \text{为偶数}\end{gathered}\right\}
.
给定数列 A:a1A:a_1，a2a_2，⋯\cdots，a8a_8，和序列 Ω:T1\Omega:T_1，T2T_2，⋯\cdots，TsT_s，其中 Tt=(it,jt,kt,wt)∈MT_t=(i_t,j_t,k_t,w_t)\in M（t=1t=1，22，⋯\cdots，ss）. 对数列 AA 进行如下变换：将 AA 的第 i1i_1，j1j_1，k1k_1，w1w_1 项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 T1(A)T_1(A)；将 T1(A)T_1(A) 的第 i2i_2，j2j_2，k2k_2，w2w_2 项均加 1，其余项不变，得到数列记作 T2T1(A)T_2T_1(A)；……；以此类推，得到 Ts⋯T2T1(A)T_s\cdots T_2T_1(A)，简记为 Ω(A)\Omega(A).
(1) 给定数列 A:1A:1，33，22，44，66，33，11，99 和序列 Ω:(1,3,5,7)\Omega:(1,3,5,7)，(2,4,6,8)(2,4,6,8)，(1,3,5,7)(1,3,5,7)，写出 Ω(A)\Omega(A)； (2) 是否存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 为 a1+2a_1+2，a2+6a_2+6，a3+4a_3+4，a4+2a_4+2，a5+8a_5+8，a6+2a_6+2，a7+4a_7+4，a8+4a_8+4？若存在，写出一个符合条件的 Ω\Omega；若不存在，请说明理由； (3) 若数列 AA 的各项均为正整数，且 a1+a3+a5+a7a_1+a_3+a_5+a_7 为偶数，求证：“存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8”.

2024 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为有穷整数数列. 给定正整数 mm，若对任意的 n∈{1,2,…,m}n\in\{1,2,\dots,m\}，在 QQ 中存在 aia_i，ai+1a_{i+1}，…\dots，ai+ja_{i+j}（j≥0j\ge 0），使得 ai+ai+1+⋯+ai+j=na_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n，则称 QQ 为 mm-连续可表数列.
(1) 判断 Q:2Q:2，11，44 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 8-连续可表数列，求证：kk 的最小值为 4； (3) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 20-连续可表数列，且 a1+a2+⋯+ak<20a_1+a_2+\dots+a_k<20，求证：k≥7k\ge 7.

2022 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★☆☆
设 (1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn(1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n，其中 n≥4n\ge 4，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 已知 a32=2a2a4a_3^2=2a_2a_4.
(1) 求 nn 的值； (2) 设 (1+3)n=a+b3(1+\sqrt3)^n=a+b\sqrt3，其中 aa，b∈N∗b\in\mathbf{N}^*，求 a2−3b2a^2-3b^2 的值.

2019 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★★
设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，对 11，22，⋯\cdots，nn 的一个排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n，如果当 s<ts<t 时，有 is>iti_s>i_t，则称 (is,it)(i_s,i_t) 是排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n 的一个逆序，排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n 的所有逆序的总个数称为其逆序数. 例如：对 11，22，33 的一个排列 231231，只有两个逆序 (2,1)(2,1)，(3,1)(3,1)，则排列 231231 的逆序数为 2. 记 fn(k)f_n(k) 为 11，22，⋯\cdots，nn 的所有排列中逆序数为 kk 的全部排列的个数.
(1) 求 f3(2)f_3(2)，f4(2)f_4(2) 的值； (2) 求 fn(2)f_n(2)（n≥5n\ge5）的表达式（用 nn 表示）.

2018 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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16概率与统计★★☆☆☆
某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1A_1，A2A_2，A3A_3 和 3 个欧洲国家 B1B_1，B2B_2，B3B_3 中选择 2 个国家去旅游.
(1) 若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1A_1 但不包括 B1B_1 的概率.

2017 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
(1) 求 7C63−4C747\mathrm C_6^3-4\mathrm C_7^4 的值； (2) 设 mm，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，n≥mn\ge m，求证： (m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+⋯+nCn−1m+(n+1)Cnm=(m+1)Cn+2m+2.(m+1)\mathrm C_m^m+(m+2)\mathrm C_{m+1}^m+(m+3)\mathrm C_{m+2}^m+\cdots+n\mathrm C_{n-1}^m+(n+1)\mathrm C_n^m=(m+1)\mathrm C_{n+2}^{m+2}.

2016 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
根据世行 20132013 年新标准，人均 GDP\mathrm{GDP} 低于 1035 美元1035\ \text{美元} 为低收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 1035—4085 美元1035\text{—}4085\ \text{美元} 为中等偏下收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 4085—12616 美元4085\text{—}12616\ \text{美元} 为中等偏上收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 不低于 12616 美元12616\ \text{美元} 为高收入国家. 某城市有 55 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP\mathrm{GDP} 如下表：
(1) 判断该城市人均 GDP\mathrm{GDP} 是否达到中等偏上收入国家标准； (2) 现从该城市 55 个行政区中随机抽取 22 个，求抽到的 22 个行政区人均 GDP\mathrm{GDP} 都达到中等偏上收入国家标准的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 以全市人口为 11，按各行政区人口比例加权，城市人均 GDP\mathrm{GDP} 为 0.25×8000+0.30×4000+0.15×6000+0.10×3000+0.20×10000=64000.25\times8000+0.30\times4000+0.15\times6000+0.10\times3000+0.20\times10000=6400 美元. 因为 4085⩽6400<126164085\leqslant6400<12616，所以该城市达到中等偏上收入国家标准. \item 达到中等偏上收入国家标准的行政区为 A、C、E，共 33 个. 从 55 个行政区中随机抽取 22 个，基本事件总数为 C52=10\mathrm C_5^2=10，有利事件数为从 A、C、E 中抽取 22 个，即 C32=3\mathrm C_3^2=3. 因此所求概率为 C32C52=310\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22概率与统计★★★★★
随机将 11，22，⋯\cdots，2n2n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，n⩾2n \geqslant 2）这 2n2n 个连续正整数分成 AA，BB 两组，每组 nn 个数，AA 组最小数为 a1a_{1}，最大数为 a2a_{2}；BB 组最小数为 b1b_{1}，最大数为 b2b_{2}，记 ξ=a2−a1\xi = a_{2} - a_{1}，η=b2−b1\eta = b_{2} - b_{1}.
(1) 当 n=3n = 3 时，求 ξ\xi 的分布列和数学期望； (2) 令 CC 表示事件 ξ\xi 与 η\eta 的取值恰好相等，求事件 CC 发生的概率 P(C)P(C)； (3) 对（2）中的事件 CC，Cˉ\bar{C} 表示 CC 的对立事件，判断 P(Cˉ)P(\bar{C}) 和 P(C)P(C) 的大小关系，并说明理由.

2014 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
将连续正整数 11，22，⋯\cdots，nn （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*） 从小到大排列构成一个数 123⋯n123\cdots n，F(n)F(n) 为这个数的位数 （如 n=12n = 12 时，此数为 123456789101112123456789101112，共有 15 个数字，F(12)=15F(12) = 15），现从这个数中随机取一个数字，p(n)p(n) 为恰好取到 0 的概率.
(1) 求 p(100)p(100)； (2) 当 n⩽2014n \leqslant 2014 时，求 F(n)F(n) 的表达式； (3) 令 g(n)g(n) 为这个数中数字 0 的个数，f(n)f(n) 为这个数中数字 9 的个数，h(n)=f(n)−g(n)h(n) = f(n) - g(n)，S={n∣h(n)=1,n⩽100,n∈N∗}S = \{n \mid h(n) = 1, n \leqslant 100, n \in \mathbf{N}^*\}，求当 n∈Sn \in S 时 p(n)p(n) 的最大值.

2014 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.
(1) 求频率分布直方图中 aa 的值； (2) 分别求出成绩落在 [50,60)[50,60) 与 [60,70)[60,70) 中的学生人数； (3) 从成绩在 [50,70)[50,70) 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 [60,70)[60,70) 中的概率.

2014 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★☆☆☆
现有 66 道题，其中 44 道甲类题，22 道乙类题，张同学从中任取 22 道题解答. 试求：
(1) 所取的 22 道题都是甲类题的概率； (2) 所取的 22 道题不是同一类题的概率.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某小组共有 A，B，C，D，E 五位同学，他们的身高（单位：米\text{米}）及体重指标（单位：千克/米2\text{千克}/\text{米}^{2}）如下表所示：
(1) 从该小组身高低于 1.801.80 的同学中任选 22 人，求选到的 22 人身高都在 1.781.78 以下的概率； (2) 从该小组同学中任选 22 人，求选到的 22 人的身高都在 1.701.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)[18.5, 23.9) 中的概率.

2013 · 山东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
设 ξ\xi 为随机变量，从棱长为 11 的正方体的 1212 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0\xi=0；当两条棱平行时，ξ\xi 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1\xi=1.
(1) 求概率 P(ξ=0)P(\xi=0)； (2) 求 ξ\xi 的分布列，并求其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2012 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23集合与逻辑基础★★★★★
设集合 Pn={1,2,⋯ ,n}P_n = \{1,2,\cdots,n\}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 记 f(n)f(n) 为同时满足下列条件的集合 AA 的个数：
① A⊆PnA \subseteq P_n； ② 若 x∈Ax \in A，则 2x∉A2x \notin A； ③ 若 x∈CPnAx \in C_{P_n}A，则 2x∉CPnA2x \notin C_{P_n}A.
(1) 求 f(4)f(4)； (2) 求 f(n)f(n) 的解析式（用 nn 表示）.

2012 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
如图，从 A1(1,0,0)A_{1}(1,0,0)，A2(2,0,0)A_{2}(2,0,0)，B1(0,1,0)B_{1}(0,1,0)，B2(0,2,0)B_{2}(0,2,0)，C1(0,0,1)C_{1}(0,0,1)，C2(0,0,2)C_{2}(0,0,2) 这 6 个点中随机选取 3 个点.
(1) 求这 3 点与原点 OO 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2) 求这 3 点与原点 OO 共面的概率.

2012 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 11，22，33；蓝色卡片两张，标号分别为 11，22.
(1) 从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (2) 现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.

2012 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 aa 为正实数，nn 为自然数，抛物线 y=−x2+an2y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2} 与 xx 轴正半轴相交于点 AA. 设 f(n)f(n) 为该抛物线在点 AA 处的切线在 yy 轴上的截距.
(1) 用 aa 和 nn 表示 f(n)f(n)； (2) 求对所有 nn 都有 f(n)−1f(n)+1⩾nn+1\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n}{n + 1} 成立的 aa 的最小值； (3) 当 0<a<10 < a < 1 时，比较 1f(1)−f(2)+1f(2)−f(4)+⋯+1f(n)−f(2n)\frac{1}{f(1) - f(2)} + \frac{1}{f(2) - f(4)} + \cdots + \frac{1}{f(n) - f(2n)} 与 6⋅f(1)−f(n+1)f(0)−f(1)6 \cdot \frac{f(1) - f(n + 1)}{f(0) - f(1)} 的大小，并说明理由.

2012 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，A16A_{16} 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格； (2) 从得分在区间 [20,30)[20, 30) 内的运动员中随机抽取 2 人，
(i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

2011 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
设整数 n⩾4n\geqslant 4，P(a,b)P(a,b) 是平面直角坐标系 xOyxOy 中的点，其中 aa，b∈{1,2,3,…,n}b\in\{1,2,3,\dots,n\}，a>ba>b.
(1) 记 AnA_{n} 为满足 a−b=3a-b=3 的点 PP 的个数，求 AnA_{n}； (2) 记 BnB_{n} 为满足 13(a−b)\frac{1}{3}(a-b) 是整数的点 PP 的个数，求 BnB_{n}.

2011 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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16计数原理与组合数学★★☆☆☆
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别. 公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料. 若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格. 假设此人对 AA 和 BB 两种饮料没有鉴别能力.
(1) 求此人被评为优秀的概率； (2) 求此人被评为良好及以上的概率.

2011 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两校各有 3 名教师报名支教. 其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女.
(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率； (2) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率.

2011 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某市公租房的房源位于 AA，BB，CC 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 44 位申请人中：
(1) 没有人申请 AA 片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率.

2011 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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