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1917分概率与统计★★★★★
甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 pp（12<p<1\frac12<p<1），乙胜的概率为 qq，p+q=1p+q=1，且各球的胜负相互独立. 对正整数 k≥2k\ge 2，记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.
(1) 求 p3p_3，p4p_4（用 pp 表示）； (2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4，求 pp； (3) 证明：对任意正整数 mm，p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 (1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4(1-2x)^4=a_0-2a_1x+4a_2x^2-8a_3x^3+16a_4x^4，则 a0=a_0=；a1+a2+a3+a4=a_1+a_2+a_3+a_4=______.

2025 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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21计数原理与组合数学★★★★★
设 M={(xi,yi)∣xi,yi∈A}M=\{(x_i,y_i)\mid x_i,y_i\in A\}，A={1,2,3,4,5,6,7,8}A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. 从 MM 中选 nn 个有序数对构成一列 (x1,y1)(x_1,y_1)，…\dots，(xn,yn)(x_n,y_n). 若相邻两项满足 ∣xi+1−xi∣=3 或 4|x_{i+1}-x_i|=3\text{\ 或\ }4，∣yi+1−yi∣=4 或 3|y_{i+1}-y_i|=4\text{\ 或\ }3，i=1i=1，…\dots，n−1n-1，则该列称为 kk 列.
(1) 若 kk 列的第一项为 (3,3)(3,3)，求第二项. (2) 若 τ\tau 为 kk 列，且 ii 为奇数时 xi∈{1,2,7,8}x_i\in\{1,2,7,8\}，ii 为偶数时 xi∈{3,4,5,6}x_i\in\{3,4,5,6\}，判断 (3,2)(3,2) 与 (4,4)(4,4) 能否同时在 τ\tau 中，并说明. (3) 证明 MM 中所有元素都不构成 kk 列.

2025 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (x−1)6(x-1)^6 的展开式中，x3x^3 项系数为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在二项式 (2x−1)5(2x-1)^5 的展开式中，x3x^3 的系数为______.

2025 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
44 个家长和 22 个儿童去郊游爬山，66 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有______.

2025 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (x+mx)6\left(x+\dfrac{m}{x}\right)^6 的展开式中常数项为 2020，则实数 mm 的值为______.

2025 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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