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15复数★★★☆☆
对于任意两个复数 zz，ww，如果满足 z−wz-w 为实数，或 z−w‾z-\overline{w} 为实数，那么就称 zz 与 ww 伴随. 如果 zz 与 ww 伴随，则 w−iw-\mathrm{i} 与 z+iz+\mathrm{i} 伴随的充要条件是（ ）
A.
Rez+Rew=0\mathrm{Re} z+\mathrm{Re} w=0
B.
Rez−Rew=0\mathrm{Re} z-\mathrm{Re} w=0
C.
Imz+Imw=0\mathrm{Im} z+\mathrm{Im} w=0
D.
Imz−Imw=0\mathrm{Im} z-\mathrm{Im} w=0

2026 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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10复数★★★☆☆
ii 为虚数单位，若复数 zz 满足 z2=(zˉ)2z^2=(\bar z)^2，且 ∣z∣≤1|z|\le1，则 ∣z−2−3i∣|z-2-3\mathrm{i}| 的最小值是______.

2025 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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09复数★★★☆☆
设 m∈Rm\in \mathbf{R}，若虚数 zz 的实部为 1，且 z+2z=mz+\frac{2}{z}=m，则 m=m=______.

2024 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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06复数★☆☆☆☆
若复数 z=1+iz=1+\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 ∣1−iz∣=‾\left|1-\mathrm{i} z\right|=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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01复数★☆☆☆☆
若复数 z=1+iz=1+\mathrm{i}（其中 i\mathrm{i} 为虚数单位），则 2z=‾2z=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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01复数★☆☆☆☆
已知 z1=1+iz_1=1+\mathrm{i}，z2=2+3iz_2=2+3\mathrm{i}，求 z1+z2=z_1+z_2=______.

2021 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
已知复数 z=1−2iz=1-2\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 ∣z∣=|z|=______.

2020 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
已知 z∈Cz\in\mathbb{C} 且满足 1z−5=i\frac1{z-5}=\mathrm{i}，求 z=z=______.

2019 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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01复数★☆☆☆☆
行列式
∣4125∣\begin{vmatrix}4 & 1\\2 & 5\end{vmatrix}
的值为______.

2018 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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05复数★☆☆☆☆
已知复数 zz 满足 (1+i)z=1−7i(1+\mathrm{i})z=1-7\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 ∣z∣=\lvert z\rvert=______.

2018 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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05复数★★☆☆☆
已知复数 zz 满足 z+3z=0z+\dfrac3z=0，则 ∣z∣=‾\lvert z\rvert=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
设 z=3+2iiz=\dfrac{3+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 Im⁡z=‾\operatorname{Im}z=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
设 z=3+2iiz=\dfrac{3+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 zz 的虚部等于______.

2016 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 3z+z‾=1+i3z + \overline{z} = 1 + \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=‾z =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in \mathbf{C}，则“z1z_{1}，z2z_{2} 中至少有一个数是虚数”是“z1−z2z_{1} - z_{2} 是虚数”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 3z+z‾=1+i3z + \overline{z} = 1 + \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=z =______.

2015 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in \mathbf{C}，则“z1z_{1}，z2z_{2} 均为实数”是“z1−z2z_{1} - z_{2} 是实数”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
若复数 z=1+2iz = 1 + 2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 (z+1z‾)⋅z‾=\left(z + \frac{1}{\overline{z}}\right) \cdot \overline{z} =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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11复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 z=1+2iz = 1 + 2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 (z+1z‾)⋅z‾=\left(z + \frac{1}{\overline{z}}\right) \cdot \overline{z} =______.
\begin{answer} 66 \end{answer}
\begin{solution} 因为 z‾=1−2i\overline z=1-2\mathrm{i}，所以 zz‾=12+22=5z\overline z=1^2+2^2=5，且 1z‾=zzz‾=z5\dfrac{1}{\overline z}=\dfrac{z}{z\overline z}=\dfrac{z}{5}. 因而 (z+1z‾)z‾=zz‾+1=5+1=6\left(z+\dfrac{1}{\overline z}\right)\overline z=z\overline z+1=5+1=6. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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16复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由于 a≠ba\ne b，集合相等时不可能同时有 a=a2a=a^2 和 b=b2b=b^2，否则由 ab≠0ab\ne0 得 a=b=1a=b=1. 因而只能有 a=b2a=b^2、b=a2b=a^2. 代入得 a=a4a=a^4，而 a≠0a\ne0，所以 a3=1a^3=1. 若 a=1a=1，则 b=a2=1b=a^2=1，与互异矛盾；故 aa 是非实的三次单位根，且 b=a2b=a^2. 由 1+a+a2=01+a+a^2=0，得 a+b=a+a2=−1a+b=a+a^2=-1，选 D. \end{solution}
A.
22
B.
11
C.
00
D.
−1-1

2014 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，m2+m−2+(m2−1)im^2 + m - 2 + (m^2 - 1)\mathrm{i} 是纯虚数，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 m=m=______. \begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 复数为纯虚数时其实部为零，且虚部不为零. 因此
m2+m−2=0m^2+m-2=0
解得 m=1m=1 或 m=−2m=-2. 当 m=1m=1 时虚部系数 m2−1=0m^2-1=0，复数为零，不是纯虚数；当 m=−2m=-2 时虚部系数为 3≠03\ne0. 所以 m=−2m=-2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，m2+m−2+(m2−1)im^2 + m - 2 + \left(m^2 - 1\right)\mathrm{i} 是纯虚数，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 m=‾m =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 复数为纯虚数，要求实部为零且虚部不为零，因此 m2+m−2=0m^2+m-2=0，m2−1≠0m^2-1\ne0. 由 m2+m−2=(m−1)(m+2)m^2+m-2=(m-1)(m+2)，得 m=1m=1 或 m=−2m=-2. 当 m=1m=1 时 m2−1=0m^2-1=0，复数为零，不是纯虚数，故只能取 m=−2m=-2. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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01复数★☆☆☆☆
计算： 3−i1+i=\frac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=______（i\mathrm{i} 为虚数单位）.

2012 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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15复数★★☆☆☆
若 1+2i1 + \sqrt{2}i 是关于 xx 的实系数方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）
A.
b=2b = 2，c=3c = 3
B.
b=−2b = -2，c=3c = 3
C.
b=−2b = -2，c=−1c = -1
D.
b=2b = 2，c=−1c = -1

2012 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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