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15函数与初等函数★★★★★
已知 f(x)=∣x2−cos⁡x−c2∣f(x)=\left| x^2-\cos x-c^2 \right|，给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在 (−1,1]\left( -1,1 \right] 上有最小值和最大值 ② c=0c=0，f(x)=1f(x)=1 有 3 个解 ③ c=1c=1，x∈(−1,2]x\in \left( -1,2 \right] 时，f(x)f(x) 有最大值 ④ c>0c>0，f(x)f(x) 与 y=cy=c 有 4 个交点
其中正确结论的序号是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 WW 与时间 tt 的关系为 W=f(t)W=f(t)，用 −f(b)−f(a)b−a-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小评价在 [a,b][a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 [t1,t2][t_1,t_2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2t_2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3t_3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在 [0,t1][0,t_1]，[t1,t2][t_1,t_2]，[t2,t3][t_2,t_3] 这三段时间中，在 [0,t1][0,t_1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.

2020 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
设函数
f(x)={x3−3x,x≤a,−2x,x>a.f(x)=\begin{cases} x^3-3x, & x\le a,\\ -2x, & x>a. \end{cases}
(1) 若 a=0a=0，则 f(x)f(x) 的最大值为______； (2) 若 f(x)f(x) 无最大值，则实数 aa 的取值范围是______.

2016 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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09导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→1xx−xx−1=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x} - x}{x - 1} =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 当 x→1x\to1 时，x⩾0x\geqslant0，且 xx−xx−1=x(x−1)(x−1)(x+1)=xx+1\dfrac{x\sqrt{x}-x}{x-1}=\dfrac{x(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}. 因而原极限为 11+1=12\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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11导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是偶函数. 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线的斜率为 11，则该曲线在 (−1,f(−1))(-1, f(-1)) 处的切线的斜率为______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 偶函数满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). 对等式两边求导，得 −f′(−x)=f′(x)-f'(-x)=f'(x). 令 x=1x=1，则 −f′(−1)=f′(1)=1-f'(-1)=f'(1)=1，所以 f′(−1)=−1f'(-1)=-1，即所求切线斜率为 −1-1. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象是折线段 ABCABC，其中 AA，BB，CC 的坐标分别为 (0,4)(0,4)，(2,0)(2,0)，(6,4)(6,4)，则 f(f(0))=f(f(0)) =______；lim⁡Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} =______. （用数字作答）
\begin{answer} 22，−2-2 \end{answer}
\begin{solution} 在 A(0,4)A(0,4)、B(2,0)B(2,0) 所在的线段上，斜率为 −2-2，所以 f(x)=4−2xf(x)=4-2x（0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant2）；在 B(2,0)B(2,0)、C(6,4)C(6,4) 所在的线段上，斜率为 11，所以 f(x)=x−2f(x)=x-2（2⩽x⩽62\leqslant x\leqslant6）. 于是 f(0)=4f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2f(f(0))=f(4)=2.
当 Δx\Delta x 足够小时，1+Δx∈[0,2]1+\Delta x\in[0,2]，故 f(1+Δx)−f(1)Δx=[4−2(1+Δx)]−[4−2]Δx=−2\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{[4-2(1+\Delta x)]-[4-2]}{\Delta x}=-2. 所以极限为 −2-2，故填 22，−2-2. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13导数及其应用★★☆☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象是折线段 ABCABC，其中 AA，BB，CC 的坐标分别为 (0,4)(0,4)，(2,0)(2,0)，(6,4)(6,4)，则 f(f(0))=f(f(0)) =______；函数 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处的导数 f′(1)=f'(1) =______.

2008 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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09导数及其应用★☆☆☆☆
f′(x)f'(x) 是 f(x)=13x3+2x+1f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 2x + 1 的导函数，则 f′(−1)f'(-1) 的值是______.

2007 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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09导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→−1x2+3x+2x2−1\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1} 的值等于______.

2006 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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