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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2+mx−4enx−1f(x)=x^2+mx-4\mathrm{e}^{nx-1}（n∈Zn\in \mathbf{Z}），曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (−1,f(−1))\left( -1,f(-1) \right) 处的切线方程为 4x+e2y+e2+8=04x+\mathrm{e}^2y+\mathrm{e}^2+8=0.
(1) 求 mm，nn 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的极值点个数； (3) 求 y=kx−1y=kx-1（k>0k>0）与 f(x)f(x) 交点个数.

2026 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
函数 f:(−1,+∞)→Rf:(-1,+\infty)\to\mathbf{R}，f(0)=0f(0)=0，f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}，l1l_1 为点 A(a,f(a))A(a,f(a))（a≠0a\ne0）处切线.
(1) f′(x)f'(x) 的最大值； (2) 证明：当 −1<a<0-1<a<0 时，除点 AA 外曲线 y=f(x)y=f(x) 在 l1l_1 上方； (3) 若 a>0a>0 时，过 AA 且与 l1l_1 垂直的 l2l_2 与 l1l_1 分别交 xx 轴于 x1x_1，x2x_2，求 2a−x1−x2x2−x1\dfrac{2a-x_1-x_2}{x_2-x_1} 的范围.

2025 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x)=x+k\ln(1+x)（k≠0k\ne 0），直线 ll 是曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t))（t>0t>0）处的切线.
(1) 当 k=−1k=-1 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求证：ll 不经过点 (0,0)(0,0)； (3) 当 k=1k=1 时，设点 A(t,f(t))A(t,f(t))（t>0t>0），C(0,f(t))C(0,f(t))，O(0,0)O(0,0)，BB 为 ll 与 yy 轴的交点，S△ACOS_{\triangle ACO} 与 S△ABOS_{\triangle ABO} 分别表示 △ACO\triangle ACO 与 △ABO\triangle ABO 的面积. 是否存在点 AA 使得 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO} 成立？若存在，这样的点 AA 有几个？
（参考数据：1.09<ln⁡3<1.101.09<\ln 3<1.10，1.60<ln⁡5<1.611.60<\ln 5<1.61，1.94<ln⁡7<1.951.94<\ln 7<1.95）

2024 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−x3eax+bf(x)=x-x^3\mathrm{e}^{ax+b}，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1y=-x+1.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 设函数 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，求 g(x)g(x) 的单调区间； (3) 求 f(x)f(x) 的极值点个数.

2023 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x)=\mathrm{e}^x\ln(1+x).
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 设 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上的单调性； (3) 证明：对任意的 ss，t∈(0,+∞)t\in(0,+\infty)，有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s+t)>f(s)+f(t).

2022 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=3−2xx2+af(x)=\dfrac{3-2x}{x^2+a}.
(1) 若 a=0a=0，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=−1x=-1 处取得极值，求 f(x)f(x) 的单调区间，并求其最大值与最小值.

2021 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=12−x2f(x)=12-x^2.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率等于 −2-2 的切线方程； (2) 设曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t)S(t)，求 S(t)S(t) 的最小值.

2020 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in[-2,4] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\left|f(x)-(x+a)\right|（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4][-2,4] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in\left[-2,4\right] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\lvert f(x)-(x+a)\rvert（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4]\left[-2,4\right] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]exf(x)=\bigl[ax^2-(4a+1)x+4a+3\bigr]\mathrm{e}^x.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线与 xx 轴平行，求 aa； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=2x=2 处取得极小值，求 aa 的取值范围.

2018 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]exf(x)=\left[ax^2-(3a+1)x+3a+2\right]\mathrm{e}^x.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (2,f(2))\left(2,f(2)\right) 处的切线斜率为 00，求 aa； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=1x=1 处取得极小值，求 aa 的取值范围.

2018 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=excos⁡x−xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x-x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2017 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=excos⁡x−xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x-x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0,\dfrac\pi2\right] 上的最大值和最小值.

2017 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=xea−x+bxf(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (2,f(2))(2,f(2)) 处的切线方程为 y=(e−1)x+4y=(\mathrm{e}-1)x+4.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间.

2016 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+c.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 设 a=b=4a=b=4，若函数 f(x)f(x) 有三个不同零点，求 cc 的取值范围； (3) 求证：a2−3b>0a^2-3b>0 是 f(x)f(x) 有三个不同零点的必要而不充分条件.

2016 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡1+x1−xf(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求证：当 x∈(0,1)x\in(0,1) 时，f(x)>2(x+x33)f(x)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)； (3) 设实数 kk 使得 f(x)>k(x+x33)f(x)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right) 对 x∈(0,1)x\in(0,1) 恒成立，求 kk 的最大值.

2015 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x22−kln⁡xf(x) = \frac{x^2}{2} - k\ln x，k>0k > 0.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间和极值； (2) 证明：若 f(x)f(x) 存在零点，则 f(x)f(x) 在区间 (1,e](1, \sqrt{\mathrm{e}}] 上仅有一个零点.

2015 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=xcos⁡x−sin⁡xf(x) = x\cos x - \sin x，x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
(1) 求证：f(x)⩽0f(x) \leqslant 0. (2) 若 a<sin⁡xx<ba < \frac{\sin x}{x} < b 在 (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) 上恒成立，求 aa 的最大值与 bb 的最小值.

2014 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=2x3−3xf(x) = 2x^{3} - 3x.
(1) 求 f(x)f(x) 在区间 [−2,1][-2,1] 上的最大值； (2) 若过点 P(1,t)P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x)y = f(x) 相切，求 tt 的取值范围； (3) 问过点 A(−1,2)A(-1,2)，B(2,10)B(2,10)，C(0,2)C(0,2) 分别存在几条直线与曲线 y=f(x)y = f(x) 相切？

2014 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设 LL 为曲线 C:y=ln⁡xxC: y = \frac{\ln x}{x} 在点 (1,0)(1,0) 处的切线.
(1) 求 LL 的方程； (2) 证明：除切点 (1,0)(1,0) 之外，曲线 CC 在直线 LL 的下方.

2013 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+xsin⁡x+cos⁡xf(x) = x^2 + x \sin x + \cos x.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (a,f(a))(a, f(a)) 处与直线 y=by = b 相切，求 aa 与 bb 的值； (2) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与直线 y=by = b 有两个不同交点，求 bb 的取值范围.

2013 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax2+1f(x)=ax^2+1（a>0a>0），g(x)=x3+bxg(x)=x^3+bx.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与曲线 y=g(x)y=g(x) 在它们的交点 (1,c)(1,c) 处具有公共切线，求 aa，bb 的值； (2) 当 a2=4ba^2=4b 时，求函数 f(x)+g(x)f(x)+g(x) 的单调区间，并求其在区间 (−∞,−1](-\infty,-1] 上的最大值.

2012 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 （a>0a > 0），g(x)=x3+bxg(x) = x^3 + bx.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=g(x)y = g(x) 在它们的交点 (1,c)(1, c) 处具有公共切线，求 aa，bb 的值； (2) 当 a=3a = 3，b=−9b = -9 时，若函数 f(x)+g(x)f(x) + g(x) 在区间 [k,2][k, 2] 上的最大值为 28，求 kk 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 (1,c)(1,c) 同时在两条曲线上，所以 a+1=c=1+ba+1=c=1+b，从而 a=ba=b. 两条曲线在该点具有公共切线，说明导数值相等，即 f′(1)=2af'(1)=2a，g′(1)=3+bg'(1)=3+b，所以 2a=3+b2a=3+b. 联立 a=ba=b 得 a=b=3a=b=3.
\item 令 h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2−9x+1h(x)=f(x)+g(x)=x^3+3x^2-9x+1，则 h′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)h'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1). 因此 hh 在 (−∞,−3)(-\infty,-3) 上递增，在 (−3,1)(-3,1) 上递减，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递增. 又 h(−3)=28h(-3)=28，h(1)=−4h(1)=-4，h(2)=3h(2)=3. 区间 [k,2][k,2] 要有意义，需 k⩽2k\leqslant2. 当 k⩽−3k\leqslant-3 时，区间 [k,2][k,2] 包含 x=−3x=-3，且由上述单调性，h(x)h(x) 在该区间上的最大值为 h(−3)=28h(-3)=28. 当 −3<k⩽2-3<k\leqslant2 时，区间不含 −3-3，在 [k,1][k,1] 上函数递减、在 [1,2][1,2] 上函数递增，且 h(k)<28h(k)<28、h(2)=3<28h(2)=3<28，故最大值严格小于 2828. 所以 k∈(−∞,−3]k\in(-\infty,-3]. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−k)2exkf(x) = (x - k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对于任意的 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)，都有 f(x)⩽1ef(x) \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}，求 kk 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由于 k≠0k\ne0，求导得 f′(x)=2(x−k)exk+1k(x−k)2exk=exkk(x−k)(x+k)f'(x)=2(x-k)\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}+\dfrac1k(x-k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}=\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}}{k}(x-k)(x+k). 因 exk>0\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}>0，只需讨论 (x−k)(x+k)k\dfrac{(x-k)(x+k)}k 的符号.
当 k>0k>0 时，f′(x)>0f'(x)>0 在 (−∞,−k)(-\infty,-k) 和 (k,+∞)(k,+\infty) 上成立，f′(x)<0f'(x)<0 在 (−k,k)(-k,k) 上成立. 因此递增区间为 (−∞,−k)(-\infty,-k)、(k,+∞)(k,+\infty)，递减区间为 (−k,k)(-k,k).
当 k<0k<0 时，因分母 kk 为负，符号相反，故递减区间为 (−∞,k)(-\infty,k)、(−k,+∞)(-k,+\infty)，递增区间为 (k,−k)(k,-k). \item 若 k>0k>0，则当 x→+∞x\to+\infty 时，(x−k)2exk→+∞(x-k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}\to+\infty，不可能对所有 x>0x>0 有 f(x)\leqslant\dfrac1\mathrm{e}.
令 k=−ak=-a，其中 a>0a>0. 此时 f(x)=(x+a)2e−xaf(x)=(x+a)^2\mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}，且 f′(x)=e−xaa(a−x)(a+x)f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}}a(a-x)(a+x). 所以 ff 在 (0,a)(0,a) 上递增，在 (a,+∞)(a,+\infty) 上递减，最大值为 f(a)=4a2ef(a)=\dfrac{4a^2}{\mathrm{e}}. 要使最大值不超过 \dfrac1\mathrm{e}，必须且只需 4a2⩽14a^2\leqslant1，即 0<a⩽120<a\leqslant\dfrac12. 因此 −12⩽k<0-\dfrac12\leqslant k<0. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=(x−k)exf(x) = (x - k)\mathrm{e}^x.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值.

2011 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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