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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，且 a≠1a\neq 1，则 a⋅a3=a\cdot \sqrt[3]{a}=（ ）
A.
a32a^{\frac{3}{2}}
B.
a43a^{\frac{4}{3}}
C.
a52a^{\frac{5}{2}}
D.
a53a^{\frac{5}{3}}

2026 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>0a>0 且 a≠1a\ne1，s∈Rs\in\mathbf{R}，下列各项中，能推出 as>aa^s>a 的是（ ）
A.
a>1a>1 且 s>0s>0
B.
a>1a>1 且 s<0s<0
C.
0<a<10<a<1 且 s>0s>0
D.
0<a<10<a<1 且 s<0s<0

2025 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 v=f(x)=qxv=f(x)=\frac{q}{x}，其中 xx 为道路密度，qq 为车辆密度，且 f(x)=100−135(13)80xf(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}（0<x<400<x<40）， f(x)=−k(x−40)+85f(x)=-k(x-40)+85（40≤x≤8040\le x\le80）.
(1) 若交通流量 v>95v>95，求道路密度 xx 的取值范围； (2) 已知道路密度 x=80x=80 时，测得交通流量 v=50v=50，求车辆密度 qq 的最大值.

2020 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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06函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 周期为 11，且当 0<x≤10<x\le1 时，f(x)=−log⁡2xf(x)=-\log_2x，则 f(32)=f\left(\frac32\right)=______.

2019 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2(x+a)f(x)=\log_2(x+a). 若 f(x)f(x) 的反函数的图像经过点 (3,1)(3,1)，则 a=a=______.

2018 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知常数 a>0a>0，函数 f(x)=2x2x+axf(x)=\frac{2^x}{2^x+ax} 的图像经过点 P(p,65)P\left(p,\frac65\right)，Q(q,−15)Q\left(q,-\frac15\right). 若 2p+q=36pq2^{p+q}=36pq，则 a=a=______.

2018 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知点 (3,9)(3,9) 在函数 f(x)=1+axf(x)=1+a^x 的图像上，则 f(x)f(x) 的反函数 f−1(x)=‾f^{-1}(x)=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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06指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知点 (3,9)(3,9) 在函数 f(x)=1+axf(x)=1+a^x 的图像上，则 f(x)f(x) 的反函数 f−1(x)=‾f^{-1}(x)=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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23指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=1a=1 时，解不等式 f(x)>1f(x)>1； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)+log⁡2(x2)=0f(x)+\log_2(x^2)=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的值； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值与最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡2(9x−1−5)=log⁡2(3x−1−2)+2\log_2(9^{x - 1} - 5) = \log_2(3^{x - 1} - 2) + 2 的解为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 为 f(x)=2x−2+x2f(x) = 2^{x - 2} + \frac{x}{2}，x∈[0,2]x \in [0,2] 的反函数，则 y=f(x)+f−1(x)y = f(x) + f^{-1}(x) 的最大值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★★☆☆
方程 log⁡2(9x−1−5)=log⁡2(3x−1−2)+2\log_{2}(9^{x-1}-5)=\log_{2}(3^{x-1}-2)+2 的解为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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20函数与初等函数★★★☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \frac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2014 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 33x−1+13=3x−1\frac{3}{3^x-1}+\frac{1}{3}=3^{x-1} 的实数解为______. \begin{answer} log⁡34\log_{3}4 \end{answer}
\begin{solution} 原方程的定义域要求 3x−1≠03^x-1\ne0，即 x≠0x\ne0. 令 t=3xt=3^x，则 t>0t>0 且 t≠1t\ne1. 方程化为
3t−1+13=t3\frac{3}{t-1}+\frac{1}{3}=\frac{t}{3}
两边同乘 3(t−1)3(t-1)，得
9+t−1=t(t−1)9+t-1=t(t-1)
即 t2−2t−8=0t^2-2t-8=0，所以 t=4t=4 或 t=−2t=-2. 因 t>0t>0，只能取 t=4t=4，从而
x=log⁡34x=\log_3 4
该值不为零，满足定义域要求. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 93x−1+1=3x\frac{9}{3^x - 1} + 1 = 3^x 的实数解为______.
\begin{answer} x=log⁡34x = \log_{3}4 \end{answer}
\begin{solution} 令 t=3xt=3^x，则 t>0t>0 且 t≠1t\ne1. 原方程化为
9t−1+1=t\frac{9}{t-1}+1=t
即 9t−1=t−1\frac{9}{t-1}=t-1，(t−1)2=9(t-1)^2=9. 所以 t=4t=4 或 t=−2t=-2. 由于 t>0t>0，只能取 t=4t=4，从而 x=log⁡34x=\log_3 4，且该值满足原方程的定义域要求. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=e∣x−a∣f(x) = \mathrm{e}^{|x - a|} （aa 为常数）. 若 f(x)f(x) 在区间 [1,+∞)[1, +\infty) 上是增函数，则 aa 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1, 2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 4x−2x+1−3=04^{x} - 2^{x + 1} - 3 = 0 的解是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 22 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1,2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x+1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

2011 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x + 1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

2011 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
对任意不等于 1 的正数 aa，函数 f(x)=log⁡a(x+3)f(x)=\log_{a}(x+3) 的反函数的图象都经过点 PP，则点 PP 的坐标为______.

2010 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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