数迹
题目列表试卷列表
共找到 43 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1，1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a}-\dfrac{1}{\log_a 4}=-\dfrac{5}{2}，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac1{\log_8a}-\dfrac1{\log_a4}=-\dfrac52，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
11函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=e−(x−1)2f(x)=\mathrm{e}^{-\left(x-1\right)^2}. 记 a=f(22)a=f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)，b=f(32)b=f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)，c=f(62)c=f\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)，则（ ）
A.
b>c>ab>c>a
B.
b>a>cb>a>c
C.
c>b>ac>b>a
D.
c>a>bc>a>b

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

查看答案和解析
05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=(3x−3−x)cos⁡xy=\left( 3^x-3^{-x} \right)\cos x 在区间 [−π2,π2]\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

查看答案和解析
12指数函数与对数函数★★★★☆
已知 9m=109^m=10，a=10m−11a=10^m-11，b=8m−9b=8^m-9，则（ ）
A.
a>0>ba>0>b
B.
a>b>0a>b>0
C.
b>a>0b>a>0
D.
b>0>ab>0>a

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 LL 和小数记录法的数据 VV 满足 L=5+lg⁡VL=5+\lg V. 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.94.9，则其视力的小数记录法的数据约为（1010≈1.259\sqrt[10]{10}\approx 1.259）（ ）
A.
1.51.5
B.
1.21.2
C.
0.80.8
D.
0.60.6

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

查看答案和解析
06指数函数与对数函数★★☆☆☆
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 LL 和小数记录法的数据 VV 满足 L=5+lg⁡VL=5+\lg V. 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.94.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（1010≈1.259\sqrt[10]{10}\approx 1.259）
A.
1.51.5
B.
1.21.2
C.
0.80.8
D.
0.60.6

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

查看答案和解析
04指数函数与对数函数★★★☆☆
Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)I(t)（tt 的单位：天）的 Logistic 模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)I(t)=\dfrac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}，其中 KK 为最大确诊病例数. 当 I(t∗)=0.95KI(t^*)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t∗t^* 约为（ ）（ln⁡19≈3\ln19\approx3）
A.
6060
B.
6363
C.
6666
D.
6969

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

查看答案和解析
12指数函数与对数函数★★★★☆
已知 55<845^5<8^4，134<8513^4<8^5. 设 a=log⁡53a=\log_5 3，b=log⁡85b=\log_8 5，c=log⁡138c=\log_{13} 8，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<a<cb<a<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
04函数与初等函数★★★☆☆
Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)I(t)（tt 的单位：天）的 Logistic 模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)I(t)=\dfrac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}，其中 KK 为最大确诊病例数. 当 I(t∗)=0.95KI(t^*)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t∗t^* 约为（ ）（ln⁡19≈3\ln 19\approx 3）
A.
6060
B.
6363
C.
6666
D.
6969

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

查看答案和解析
10指数函数与对数函数★★★☆☆
设 a=log⁡32a=\log_3 2，b=log⁡53b=\log_5 3，c=23c=\dfrac{2}{3}，则（ ）
A.
a<c<ba<c<b
B.
a<b<ca<b<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
11函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减，则（ ）
A.
f ⁣(log⁡314)>f ⁣(2−32)>f ⁣(2−23)f\!\left(\log_3\frac14\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)
B.
f ⁣(log⁡314)>f ⁣(2−23)>f ⁣(2−32)f\!\left(\log_3\frac14\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)
C.
f ⁣(2−32)>f ⁣(2−23)>f ⁣(log⁡314)f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(\log_3\frac14\right)
D.
f ⁣(2−23)>f ⁣(2−32)>f ⁣(log⁡314)f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(\log_3\frac14\right)

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

查看答案和解析
12指数函数与对数函数★★★★☆
设 a=log⁡0.20.3a=\log_{0.2}0.3，b=log⁡20.3b=\log_20.3，则（ ）
A.
a+b<ab<0a+b<ab<0
B.
ab<a+b<0ab<a+b<0
C.
a+b<0<aba+b<0<ab
D.
ab<0<a+bab<0<a+b

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
05指数函数与对数函数★★☆☆☆
公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元130\text{ 万元}，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%12\%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元200\text{ 万元} 的年份是（ ）
（参考数据：lg⁡1.12≈0.05\lg 1.12\approx0.05，lg⁡1.3≈0.11\lg 1.3\approx0.11，lg⁡2≈0.30\lg 2\approx0.30）
\begin{solution} 设从 20152015 年起经过 kk 年，则全年投入资金为 130(1.12)k130(1.12)^k 万元.要求
130(1.12)k>200130(1.12)^k>200
即
k>lg⁡(200130)lg⁡1.12=lg⁡2−lg⁡1.3lg⁡1.12≈0.30−0.110.05=3.8k>\frac{\lg(\frac{200}{130})}{\lg1.12}=\frac{\lg2-\lg1.3}{\lg1.12}\approx\frac{0.30-0.11}{0.05}=3.8
最小整数 kk 为 44，对应年份为 2015+4=20192015+4=2019 年，所以选 B. \end{solution}
A.
20182018 年
B.
20192019 年
C.
20202020 年
D.
20212021 年

2016 · 四川 · 理 · 第 5 题 · 选择题

查看答案和解析
07函数与初等函数★★☆☆☆
公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%12\%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）
（参考数据：lg⁡1.12≈0.05\lg 1.12\approx0.05，lg⁡1.3≈0.11\lg 1.3\approx0.11，lg⁡2≈0.30\lg 2\approx0.30）
A.
20182018 年
B.
20192019 年
C.
20202020 年
D.
20212021 年

2016 · 四川 · 文 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析
13概率与统计★★☆☆☆
从 22，33，88，99 任取两个不同的数值，分别记为 aa，bb，则 log⁡ab\log_a b 为整数的概率是______.

2016 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
08集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，bb 都是不等于 1 的正数，则 3a>3b>33^{a} > 3^{b} > 3 是“log⁡a3<log⁡b3\log_{a} 3 < \log_{b} 3”的（ ）
\begin{solution} 由 3a>3b>33^{a}>3^{b}>3 及指数函数的单调性，得 a>b>1a>b>1. 当 aa，b>1b>1 时，log⁡a3=ln⁡3ln⁡a\log_a3=\dfrac{\ln3}{\ln a}，故 a>ba>b 等价于 log⁡a3<log⁡b3\log_a3<\log_b3. 因此前一个条件能推出后一个条件.
反之不成立. 例如取 a=12a=\dfrac12，b=2b=2，则 log⁡a3<0<log⁡b3\log_a3<0<\log_b3，但 3a<3b3^a<3^b，前一个条件不成立. 所以前一个条件是后一个条件的充分不必要条件，故选 B. \end{solution}
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
13函数与初等函数★★☆☆☆
某食品的保鲜时间 yy（单位：小时）与储藏温度 xx（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）满足函数关系 y=ekx+by = \mathrm{e}^{kx + b}（e=2.718⋯\mathrm{e} = 2.718 \cdots 为自然对数的底数，kk，bb 为常数）. 若该食品在 0∘C0^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 192192 小时，在 22∘C22^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 4848 小时，则该食品在 33∘C33^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是______ 小时.
\begin{solution} 由 y(0)=eb=192y(0)=\mathrm{e}^b=192，y(22)=e22k+b=48y(22)=\mathrm{e}^{22k+b}=48，两式相除得 e22k=14\mathrm{e}^{22k}=\dfrac14. 因此
y(33)=e33k+b=eb(e22k)3322=192(14)32=24y(33)=\mathrm{e}^{33k+b}=\mathrm{e}^b\left(\mathrm{e}^{22k}\right)^{\frac{33}{22}}=192\left(\frac14\right)^{\frac{3}{2}}=24
\end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______. （写出所有真命题的序号）
\begin{solution} 先化简
n=x12−x22+a(x1−x2)x1−x2=x1+x2+an=\frac{x_1^2-x_2^2+a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=x_1+x_2+a
因为 2x2^x 在 R\mathbf{R} 上严格递增，所以 x1≠x2x_1\ne x_2 时 m>0m>0，命题 1 为真. 命题 2 不真，例如取 a=0a=0，x1=−2x_1=-2，x2=−1x_2=-1，则 n=−3<0n=-3<0.
命题 3 也不真. 取 a=−10a=-10，记 s=x1+x2s=x_1+x_2，d=x1−x2≠0d=x_1-x_2\ne0，则
m=2s22d2−2−d2d>(ln⁡2)2s2m=2^{\frac{s}{2}}\frac{2^{\frac{d}{2}}-2^{-\frac{d}{2}}}{d}>(\ln2)2^{\frac{s}{2}}
若 s⩽10s\leqslant10，则 n=s−10⩽0<mn=s-10\leqslant0<m. 若 s>10s>10，函数 (ln⁡2)2s2−(s−10)(\ln2)2^{\frac{s}{2}}-(s-10) 的导数在 [10,+∞)[10,+\infty) 上为正，因此该函数递增且在 s=10s=10 时为正，所以仍有 m>s−10=nm>s-10=n，不可能 m=nm=n.
对于命题 4，固定取 x1=t+1x_1=t+1，x2=t−1x_2=t-1，则 m=34 2tm=\dfrac34\,2^t，n=2t+an=2t+a. 函数 h(t)=34 2t+2t+ah(t)=\dfrac34\,2^t+2t+a 连续，且当 t→−∞t\to-\infty 时 h(t)→−∞h(t)\to-\infty，当 t→+∞t\to+\infty 时 h(t)→+∞h(t)\to+\infty. 由介值定理，存在 tt 使 h(t)=0h(t)=0，即 m=−nm=-n，命题 4 为真. 所以真命题的序号为 \circled1\circled4\circled{1}\circled{4}. \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，bb 为正实数，则“a>b>1a>b>1”是“log⁡2a>log⁡2b>0\log_2 a > \log_2 b > 0”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 四川 · 文 · 第 4 题 · 选择题

查看答案和解析
08指数函数与对数函数★★☆☆☆
某食品的保鲜时间 yy（单位：小时\text{小时}）与储藏温度 xx（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）满足函数关系 y=ekx+by=\mathrm{e}^{kx+b}（e=2.718⋯\mathrm{e} = 2.718\cdots 为自然对数的底数，kk，bb 为常数）. 若该食品在 0∘C0^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 192 小时192\text{ 小时}，在 22∘C22^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 48 小时48\text{ 小时}，则该食品在 33∘C33^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是（ ）
A.
16 小时16\text{ 小时}
B.
20 小时20\text{ 小时}
C.
24 小时24\text{ 小时}
D.
28 小时28\text{ 小时}

2015 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
12指数函数与对数函数★☆☆☆☆
lg⁡0.01+log⁡216\lg 0.01 + \log_2 16 的值是______.

2015 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 填空题

查看答案和解析
15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
09函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，x∈(−1,1)x \in (-1, 1). 现有下列命题：
① f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)； ② f(2xx2+1)=2f(x)f\left(\frac{2x}{x^{2}+1}\right) = 2f(x)； ③ ∣f(x)∣⩾2∣x∣|f(x)| \geqslant 2|x|.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A.
①②③
B.
②③
C.
①③
D.
①②

2014 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

查看答案和解析
07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 b>0b > 0，log⁡5b=a\log_5 b = a，lg⁡b=c\lg b = c，5d=105^{d} = 10，则下列等式一定成立的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 5d=105^{d}=10 得 d=log⁡510d=\log_{5}10. 换底可得
c=lg⁡b=log⁡5blog⁡510=adc=\lg b=\frac{\log_{5}b}{\log_{5}10}=\frac{a}{d}
于是 a=cda=cd，故选 B. \end{solution}
A.
d=acd = ac
B.
a=cda = cd
C.
c=adc = ad
D.
d=a+cd = a + c

2014 · 四川 · 文 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析