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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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085分指数函数与对数函数★★★☆☆
若实数 xx，yy，zz 满足 2+log⁡2x=3+log⁡3y=5+log⁡5z2 + \log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z，则 xx，yy，zz 的大小关系不可能是（ ）
A.
x>y>zx > y > z
B.
x>z>yx > z > y
C.
y>x>zy > x > z
D.
y>z>xy > z > x

2025 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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106分指数函数与对数函数★★★☆☆
噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级 LP=20lg⁡pp0L_P=20\lg\frac{p}{p_0}，其中常数 p0p_0（p0>0p_0>0） 是听觉下限阈值，pp 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车 10m10\text{m} 处测得实际声压分别为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1≥p2p_1\ge p_2
B.
p2>10p3p_2>10p_3
C.
p3=100p0p_3=100p_0
D.
p1≤100p2p_1\le 100p_2

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 2a=52^a=5，log⁡83=b\log_8 3=b，则 4a−3b=4^{a-3b}=（ ）
A.
2525
B.
55
C.
259\dfrac{25}{9}
D.
53\dfrac{5}{3}

2022 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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22导数及其应用★★★★★
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 a>1a>1，函数 f(x)=ax−bx+e2f(x)=a^x-bx+\mathrm{e}^2（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对任意 b>2e2b>2\mathrm{e}^2，函数 f(x)f(x) 有两个不同零点，求 aa 的取值范围； (3) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，证明：对任意 b>e4b>\mathrm{e}^4，函数 f(x)f(x) 有两个不同零点 x1x_1，x2x_2，使 x2>bln⁡b2e2x1+e2bx_2>\frac{b\ln b}{2\mathrm{e}^2}x_1+\frac{\mathrm{e}^2}{b}.

2021 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
在同一直角坐标系中，函数 y=1axy=\dfrac{1}{a^x}，y=log⁡a ⁣(x+12)y=\log_a\!\left(x+\dfrac12\right)（a>0a>0 且 a≠1a\neq1）图象可能是（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2019/zhejiang/q6choicea.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/zhejiang/q6_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2019/zhejiang/q6choiceb.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/zhejiang/q6_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2019/zhejiang/q6choicec.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/zhejiang/q6_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2019/zhejiang/q6choiced.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/zhejiang/q6_choice_d.png}

2019 · 浙江 · 第 6 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 a>b>1a>b>1，若 log⁡ab+log⁡ba=52\log_a b+\log_b a=\dfrac52，ab=baa^b=b^a，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}，b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 aa，b>0b>0，且 a≠1a\ne1，b≠1b\ne1，若 log⁡ab>1\log_a b>1，则（ ）
A.
(a−1)(b−1)<0(a-1)(b-1)<0
B.
(a−1)(a−b)>0(a-1)(a-b)>0
C.
(b−1)(b−a)<0(b-1)(b-a)<0
D.
(b−1)(b−a)>0(b-1)(b-a)>0

2016 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：f(x)≥∣x∣f(x)\ge |x| 且 f(x)≥2xf(x)\ge 2^x，x∈Rx\in\mathbf{R}. 则（ ）
A.
若 f(a)≤∣b∣f(a)\le |b|，则 a≤ba\le b
B.
若 f(a)≤2bf(a)\le 2^b，则 a≤ba\le b
C.
若 f(a)≥∣b∣f(a)\ge |b|，则 a≥ba\ge b
D.
若 f(a)≥2bf(a)\ge 2^b，则 a≥ba\ge b

2016 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 a=log⁡43a = \log_{4} 3，则 2a+2−a=‾2^a + 2^{-a} =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
计算 log⁡222=\log_2\dfrac{\sqrt{2}}{2}=______，2log⁡23+log⁡43=2^{\log_2 3+\log_4 3}=______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★★☆☆
在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xaf(x) = x^a（x⩾0x \geqslant 0），g(x)=log⁡axg(x) = \log_a x 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xaf(x) = x^a（x⩾0x \geqslant 0），g(x)=log⁡axg(x) = \log_a x 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 xx，yy 为正实数，则（ ）
A.
2lg⁡x+lg⁡y=2lg⁡x+2lg⁡y2^{\lg x + \lg y} = 2^{\lg x} + 2^{\lg y}
B.
2lg⁡(x+y)=2lg⁡x⋅2lg⁡y2^{\lg (x + y)} = 2^{\lg x} \cdot 2^{\lg y}
C.
2lg⁡x−lg⁡y=2lg⁡x+2lg⁡y2^{\lg x - \lg y} = 2^{\lg x} + 2^{\lg y}
D.
2lg⁡(xy)=2lg⁡x⋅2lg⁡y2^{\lg (xy)} = 2^{\lg x} \cdot 2^{\lg y}

2013 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★★☆
设函数的集合 P={f(x)=log⁡2(x+a)+b∣a=−12,0,12,1;b=−1,0,1}P = \left\{f(x) = \log_2(x + a) + b \mid a = -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1; b = -1, 0, 1\right\}，平面上点的集合 Q={(x,y)∣x=−12,0,12,1;y=−1,0,1}Q = \left\{(x, y) \mid x = -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1; y = -1, 0, 1\right\}，则在同一直角坐标系中，PP 中函数 f(x)f(x) 的图象恰好经过 QQ 中两个点的函数的个数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 逐一考查 aa 的四个取值. 只有当 x+a>0x+a>0 且 log⁡2(x+a)+b\log_2(x+a)+b 属于 {−1,0,1}\{-1,0,1\} 时，图象才经过集合 QQ 中的点.
对 a=−12a=-\frac12，在 x=−12x=-\frac12，00，12\frac12，11 中只有 x=1x=1 使 x+a>0x+a>0 且 log⁡2(x+a)=−1\log_2(x+a)=-1，所以任意 bb 至多经过一个点. 对 a=0a=0，x=12x=\frac12，11 时的对数值分别为 −1,0-1,0，故 b=0b=0，11 时恰好经过两个点，而 b=−1b=-1 时只有一个点.
对 a=12a=\frac12，x=0x=0，12\frac12 时的对数值分别为 −1,0-1,0，故 b=0b=0，11 时恰好经过两个点，而 b=−1b=-1 时只有一个点. 对 a=1a=1，四个横坐标对应的对数值依次为 −1-1，00，log⁡232\log_2\frac32，11. 因为 0<log⁡232<10<\log_2\frac32<1，所以 b=−1b=-1 时恰好有 (0,−1)(0,-1)、(1,0)(1,0) 两个点，b=0b=0 时有三个点，b=1b=1 时恰好有 (−12,0)(-\frac12,0)、(0,1)(0,1) 两个点.
因此符合条件的函数共有
0+2+2+2=60+2+2+2=6
个，故选 B. \end{solution}
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10

2010 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=log⁡2(x+1)f(x) = \log_2(x + 1)，若 f(α)=1f(\alpha) = 1，则 α=\alpha =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数有定义必须满足 x+1>0x+1>0. 由 f(α)=1f(\alpha)=1 得 log⁡2(α+1)=1\log_2(\alpha+1)=1，于是 α+1=21=2\alpha+1=2^1=2，所以 α=1\alpha=1，故选 B. \end{solution}
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2010 · 浙江 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 kk 的值是（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2009 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 0<a<10 < a < 1，log⁡am<log⁡an<0\log_a m < \log_a n < 0，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 因为 0<a<10<a<1，所以函数 y=log⁡axy=\log_a x 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减. 由 log⁡am<log⁡an\log_a m<\log_a n 得 m>nm>n. 又因为 log⁡an<0=log⁡a1\log_a n<0=\log_a1，由单调递减性得 n>1n>1. 所以 1<n<m1<n<m，选 A. \end{solution}
A.
1<n<m1 < n < m
B.
1<m<n1 < m < n
C.
m<n<1m < n < 1
D.
n<m<1n < m < 1

2006 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 log⁡12m<log⁡12n<0\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n < 0，则（ ）
A.
n<m<1n < m < 1
B.
m<n<1m < n < 1
C.
1<m<n1 < m < n
D.
1<n<m1 < n < m

2006 · 浙江 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=log⁡a(x+1)f(x) = \log_{a}(x + 1)（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的定义域和值域都是 [0,1][0, 1]，则 a=a =（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
2\sqrt{2}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
22

2004 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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