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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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085分指数函数与对数函数★★★☆☆
若实数 xx，yy，zz 满足 2+log⁡2x=3+log⁡3y=5+log⁡5z2 + \log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z，则 xx，yy，zz 的大小关系不可能是（ ）
A.
x>y>zx > y > z
B.
x>z>yx > z > y
C.
y>x>zy > x > z
D.
y>z>xy > z > x

2025 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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106分指数函数与对数函数★★★☆☆
噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级 LP=20lg⁡pp0L_P=20\lg\frac{p}{p_0}，其中常数 p0p_0（p0>0p_0>0） 是听觉下限阈值，pp 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车 10m10\text{m} 处测得实际声压分别为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1≥p2p_1\ge p_2
B.
p2>10p3p_2>10p_3
C.
p3=100p0p_3=100p_0
D.
p1≤100p2p_1\le 100p_2

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 alog⁡34=2a\log_3 4=2，则 4−a=4^{-a}=（ ）
A.
116\dfrac{1}{16}
B.
19\dfrac{1}{9}
C.
18\dfrac{1}{8}
D.
16\dfrac{1}{6}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡20.2a=\log_{2}0.2，b=20.2b=2^{0.2}，c=0.20.3c=0.2^{0.3}，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<a<bc<a<b
D.
b<c<ab<c<a

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡20.2a=\log_2 0.2，b=20.2b=2^{0.2}，c=0.20.3c=0.2^{0.3}，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<a<bc<a<b
D.
b<c<ab<c<a

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=log⁡2(x2+a)f(x)=\log_2(x^2+a)，若 f(3)=1f(3)=1，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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22导数及其应用★★★★★
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数； (3) 将 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

2014 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数.

2014 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数 f(x)f(x) 和偶函数 g(x)g(x) 满足 f(x)+g(x)=ax−a−x+2f(x)+g(x)=a^x-a^{-x}+2（a>0a>0，且 a≠1a\neq1）. 若 g(2)=ag(2)=a，则 f(2)=f(2)=（ ）
A.
22
B.
154\dfrac{15}{4}
C.
174\dfrac{17}{4}
D.
a2a^2

2011 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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15指数函数与对数函数★☆☆☆☆
里氏震级 MM 的计算公式为： M=lg⁡A−lg⁡A0M = \lg A - \lg A_0. 其中 AA 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0A_0 是相应的标准地震的振幅. 假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 10001000，此时标准地震的振幅为 0.0010.001，则此次地震的震级为______级\text{级}；9 级9\text{ 级}地震的最大的振幅是5 级5\text{ 级}地震最大振幅的______倍\text{倍}.

2011 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={log⁡3x,x>0,2x,x⩽0,f(x) = \begin{cases} \log_{3} x, & x > 0,\\ 2^x, & x \leqslant 0, \end{cases}
，则 f(f(19))=f\left(f\left(\frac{1}{9}\right)\right) =（ ）
A.
44
B.
14\frac{1}{4}
C.
−4-4
D.
−14-\frac{1}{4}

2010 · 湖北 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=1log⁡0.5(4x−3)y = \frac{1}{\sqrt{\log_{0.5}(4x - 3)}} 的定义域为（ ）
A.
(34,1)\left(\frac{3}{4}, 1\right)
B.
(34,+∞)\left(\frac{3}{4}, +\infty\right)
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
(34,1)∪(1,+∞)\left(\frac{3}{4}, 1\right) \cup (1, +\infty)

2010 · 湖北 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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13集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣log⁡2x<1}A = \{x \mid \log_2 x < 1\}，B={x∣x−1x+2<1}B = \left\{x \mid \frac{x - 1}{x + 2} < 1\right\}，则 A∩B=‾A \cap B=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 2. 若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4f(a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10}) = 4，则 log⁡2[f(a1)⋅f(a2)⋅f(a3)⋯f(a10)]=\log_2[f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot f(a_3) \cdots f(a_{10})] =______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 PP 和 QQ 是两个集合，定义集合 P−Q={x∣x∈P,且 x∉Q}P - Q = \{x \mid x \in P, \text{且 } x \notin Q\}，如果 P={x∣log⁡2x<1}P = \{x \mid \log_2 x < 1\}，Q={x∣∣x−2∣<1}Q = \{x \mid |x - 2| < 1\}，那么 P−QP - Q 等于（\quad）
A.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0 < x < 1\}
B.
{x∣0<x⩽1}\{x\mid 0 < x\leqslant 1\}
C.
{x∣1⩽x<2}\{x\mid 1\leqslant x < 2\}
D.
{x∣2⩽x<3}\{x\mid 2\leqslant x < 3\}

2007 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 yy（毫克）与时间 tt（小时）成正比；药物释放完毕后，yy 与 tt 的函数关系式为 y=(116)t−ay = \left(\frac{1}{16}\right)^{t - a}（aa 为常数）. 如图所示，据图中提供的信息，回答下列问题：
(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 yy（毫克）与时间 tt（小时）之间的函数关系式为______； (2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.250.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过______ 小时后，学生才能回到教室.

2007 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=2x+12x−1y = \frac{2^x + 1}{2^x - 1}（x<0x < 0）的反函数是（ ）
A.
y=log⁡2x+1x−1y = \log_2\frac{x + 1}{x - 1}（x<−1x < - 1）
B.
y=log⁡2x+1x−1y = \log_2\frac{x + 1}{x - 1}（x>1x > 1）
C.
y=log⁡2x−1x+1y = \log_2\frac{x - 1}{x + 1}（x<−1x < - 1）
D.
y=log⁡2x−1x+1y = \log_2\frac{x - 1}{x + 1}（x>1x > 1）

2007 · 湖北 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 yy（毫克）与时间 tt（小时）成正比；药物释放完毕后，yy 与 tt 的函数关系式为 y=(116)t−ay = \left(\frac{1}{16}\right)^{t - a}（aa 为常数），如图所示.
(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 yy（毫克）与时间 tt（小时）之间的函数关系式为______； (2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.250.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过______小时后，学生才能回到教室.

2007 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=ax+log⁡a(x+1)f(x) = a^x + \log_a(x + 1) 在 [0,1][0, 1] 上的最大值与最小值之和为 aa，则 aa 的值为（\quad）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
22
D.
44

2004 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=ax+b−1f(x)=a^x+b-1（a>0a>0，a≠1a\neq 1）的图象经过第二，三，四象限，则一定有（ ）
A.
0<a<10<a<1，且 b>0b>0
B.
a>1a>1，且 b>0b>0
C.
0<a<10<a<1，且 b<0b<0
D.
a>1a>1，且 b<0b<0

2004 · 湖北 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
若 1<1a<1b1<\frac{1}{a}<\frac{1}{b}，则下列结论中不正确的是（ ）
A.
log⁡ab>log⁡ba\log_a b>\log_b a
B.
∣log⁡ab+log⁡ba∣>2\left|\log_a b+\log_b a\right|>2
C.
(log⁡ba)2<1\left(\log_b a\right)^2<1
D.
∣log⁡ab∣+∣log⁡ba∣>∣log⁡ab+log⁡ba∣\left|\log_a b\right|+\left|\log_b a\right|>\left|\log_a b+\log_b a\right|

2004 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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