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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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085分指数函数与对数函数★★★☆☆
若实数 xx，yy，zz 满足 2+log⁡2x=3+log⁡3y=5+log⁡5z2 + \log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z，则 xx，yy，zz 的大小关系不可能是（ ）
A.
x>y>zx > y > z
B.
x>z>yx > z > y
C.
y>x>zy > x > z
D.
y>z>xy > z > x

2025 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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106分指数函数与对数函数★★★☆☆
噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级 LP=20lg⁡pp0L_P=20\lg\frac{p}{p_0}，其中常数 p0p_0（p0>0p_0>0） 是听觉下限阈值，pp 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车 10m10\text{m} 处测得实际声压分别为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1≥p2p_1\ge p_2
B.
p2>10p3p_2>10p_3
C.
p3=100p0p_3=100p_0
D.
p1≤100p2p_1\le 100p_2

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 alog⁡34=2a\log_3 4=2，则 4−a=4^{-a}=（ ）
A.
116\dfrac{1}{16}
B.
19\dfrac{1}{9}
C.
18\dfrac{1}{8}
D.
16\dfrac{1}{6}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡20.2a=\log_{2}0.2，b=20.2b=2^{0.2}，c=0.20.3c=0.2^{0.3}，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<a<bc<a<b
D.
b<c<ab<c<a

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡20.2a=\log_2 0.2，b=20.2b=2^{0.2}，c=0.20.3c=0.2^{0.3}，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<a<bc<a<b
D.
b<c<ab<c<a

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=log⁡2(x2+a)f(x)=\log_2(x^2+a)，若 f(3)=1f(3)=1，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=∣2x−2∣−bf(x) = |2^x - 2| - b 有两个零点，则实数 bb 的取值范围是______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★★★☆
若 0<x1<x2<10 < x_{1} < x_{2} < 1，则（ ）
A.
ex2−ex1>ln⁡x2−ln⁡x1\mathrm{e}^{x_2} - \mathrm{e}^{x_1} > \ln x_2 - \ln x_1
B.
ex2−ex1<ln⁡x2−ln⁡x1\mathrm{e}^{x_2} - \mathrm{e}^{x_1} < \ln x_2 - \ln x_1
C.
x2ex1>x1ex2x_{2}\mathrm{e}^{x_{1}} > x_{1}\mathrm{e}^{x_{2}}
D.
x2ex1<x1ex2x_{2}\mathrm{e}^{x_{1}} < x_{1}\mathrm{e}^{x_{2}}

2014 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=ln⁡(e3x+1)+axf(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{3x} + 1\right) + ax 是偶函数，则 a=a =______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ax+bx−cxf(x) = a^x + b^x - c^x，其中 c>a>0c > a > 0，c>b>0c > b > 0.
(1) 记集合 M={(a,b,c)∣a,b,cM = \{(a, b, c) \mid a, b, c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a=b}a = b\}，则 (a,b,c)∈M(a, b, c) \in M 所对应的 f(x)f(x) 的零点的取值集合为______； (2) 若 aa，bb，cc 是 △ABC\triangle ABC 的三条边长，则下列结论正确的是______.（写出所有正确结论的序号）
① ∀x∈(−∞,1)\forall x \in (-\infty, 1)，f(x)>0f(x) > 0； ② ∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}，使 axa^{x}，bxb^{x}，cxc^{x} 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若 △ABC\triangle ABC 为钝角三角形，则 ∃x∈(1,2)\exists x \in (1, 2)，使 f(x)=0f(x) = 0.

2013 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★★★☆
已知两条直线 l1:y=ml_1:y=m 和 l2:y=82m+1l_2:y=\frac{8}{2m+1}（m>0m>0），l1l_1 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 AA，BB，l2l_2 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 CC，DD. 记线段 ACAC 和 BDBD 在 xx 轴上的投影长度分别为 aa，bb. 当 mm 变化时，ba\frac{b}{a} 的最小值为（ ）
A.
16216\sqrt{2}
B.
828\sqrt{2}
C.
8438\sqrt[3]{4}
D.
4434\sqrt[3]{4}

2012 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
设 a>b>1a > b > 1，c<0c < 0，给出下列三个结论：
① ca>cb\frac{c}{a} > \frac{c}{b}； ② ac<bca^{c} < b^{c}； ③ log⁡b(a−c)>log⁡a(b−c)\log_{b}(a - c) > \log_{a}(b - c).
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.
①
B.
①②
C.
②③
D.
①②③

2012 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=ax2+bxy = ax^2 + bx 与 y=log⁡∣b∣∣a∣xy = \log_{\frac{|b|}{|a|}} x（ab≠0ab \neq 0，∣a∣≠∣b∣|a| \neq |b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若 log⁡2a<0\log_{2} a < 0，(12)b>1\left(\frac{1}{2}\right)^b > 1，则（ ）
A.
a>1a > 1，b>0b > 0
B.
a>1a > 1，b<0b < 0
C.
0<a<10 < a < 1，b>0b > 0
D.
0<a<10 < a < 1，b<0b < 0

2009 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
log⁡22\log_2\sqrt{2} 的值为（ ）
A.
−2-\sqrt{2}
B.
2\sqrt{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2009 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
下面不等式成立的是（ ）
\begin{solution} 由于底数都大于 11，有 log⁡32<1\log_3 2<1，且 1=log⁡22<log⁡23<log⁡251=\log_2 2<\log_2 3<\log_2 5. 合并得 log⁡32<log⁡23<log⁡25\log_3 2<\log_2 3<\log_2 5，故选 A. \end{solution}
A.
log⁡32<log⁡23<log⁡25\log_3 2 < \log_2 3 < \log_2 5
B.
log⁡32<log⁡25<log⁡23\log_3 2 < \log_2 5 < \log_2 3
C.
log⁡23<log⁡32<log⁡25\log_2 3 < \log_3 2 < \log_2 5
D.
log⁡23<log⁡25<log⁡32\log_2 3 < \log_2 5 < \log_3 2

2008 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若 a>0a > 0，a23=49a^{\frac{2}{3}} = \frac{4}{9}，则 log⁡23a=\log_{\frac{2}{3}} a =______.

2007 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1−2xf(x) = \sqrt{1 - 2^x} 的定义域是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 根式有意义的充要条件是 1−2x⩾01-2^x\geqslant0，即 2x⩽1=202^x\leqslant1=2^0. 因为指数函数 2x2^x 在 R\mathbf{R} 上单调递增，所以 x⩽0x\leqslant0，故选 A. \end{solution}
A.
(−∞,0](-\infty, 0]
B.
[0,+∞)[0, +\infty)
C.
(−∞,0)(-\infty, 0)
D.
(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

2005 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★★☆☆
已知数列 {log⁡2(an−1)}\left\{\log_2(a_n - 1)\right\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）为等差数列，且 a1=3a_1 = 3，a2=5a_2 = 5，则 lim⁡n→∞(1a2−a1+1a3−a2+⋯+1an+1−an)=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{a_2 - a_1} + \frac{1}{a_3 - a_2} + \cdots + \frac{1}{a_{n+1} - a_n}\right) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 令 un=log⁡2(an−1)u_n=\log_2(a_n-1). 由题意，unu_n 是等差数列，且 u1=log⁡22=1u_1=\log_2 2=1，u2=log⁡24=2u_2=\log_2 4=2，所以公差为 11，从而 un=nu_n=n，即 an=2n+1a_n=2^n+1. 因此 ak+1−ak=2ka_{k+1}-a_k=2^k，故
lim⁡n→∞∑k=1n1ak+1−ak=lim⁡n→∞∑k=1n12k=lim⁡n→∞(1−12n)=1\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k+1}-a_k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1
故选 C. \end{solution}
A.
22
B.
32\frac{3}{2}
C.
11
D.
12\frac{1}{2}

2005 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 是函数 f(x)=log⁡2(x+1)f(x)=\log_{2}(x+1) 的反函数，若 [1+f−1(a)][1+f−1(b)]=8\left[1+f^{-1}(a)\right]\left[1+f^{-1}(b)\right]=8，则 f(a+b)f(a+b) 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
log⁡23\log_{2}3

2004 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成. 2003年某地区农民人均收入为3150 元3150\text{ 元}（其中工资性收入为1800 元1800\text{ 元}，其它收入为1350 元1350\text{ 元}），预计该地区自2004年起的5 年5\text{ 年}内，农民的工资性收入将以每年6%6\%的年增长率增长，其它收入每年增加160 元160\text{ 元}. 根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（\quad）
A.
4200 元∼4400 元4200\text{ 元}\sim 4400\text{ 元}
B.
4400 元∼4600 元4400\text{ 元}\sim 4600\text{ 元}
C.
4600 元∼4800 元4600\text{ 元}\sim 4800\text{ 元}
D.
4800 元∼5000 元4800\text{ 元}\sim 5000\text{ 元}

2004 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
若直线 y=2ay = 2a 与函数 y=∣ax−1∣y = |a^{x} - 1|（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象有两个公共点，则 aa 的取值范围是______.

2004 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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