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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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085分指数函数与对数函数★★★☆☆
若实数 xx，yy，zz 满足 2+log⁡2x=3+log⁡3y=5+log⁡5z2 + \log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z，则 xx，yy，zz 的大小关系不可能是（ ）
A.
x>y>zx > y > z
B.
x>z>yx > z > y
C.
y>x>zy > x > z
D.
y>z>xy > z > x

2025 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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106分指数函数与对数函数★★★☆☆
噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级 LP=20lg⁡pp0L_P=20\lg\frac{p}{p_0}，其中常数 p0p_0（p0>0p_0>0） 是听觉下限阈值，pp 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车 10m10\text{m} 处测得实际声压分别为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1≥p2p_1\ge p_2
B.
p2>10p3p_2>10p_3
C.
p3=100p0p_3=100p_0
D.
p1≤100p2p_1\le 100p_2

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 alog⁡34=2a\log_3 4=2，则 4−a=4^{-a}=（ ）
A.
116\dfrac{1}{16}
B.
19\dfrac{1}{9}
C.
18\dfrac{1}{8}
D.
16\dfrac{1}{6}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡20.2a=\log_{2}0.2，b=20.2b=2^{0.2}，c=0.20.3c=0.2^{0.3}，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<a<bc<a<b
D.
b<c<ab<c<a

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡20.2a=\log_2 0.2，b=20.2b=2^{0.2}，c=0.20.3c=0.2^{0.3}，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<a<bc<a<b
D.
b<c<ab<c<a

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=log⁡2(x2+a)f(x)=\log_2(x^2+a)，若 f(3)=1f(3)=1，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
若函数
f(x)={−x+6,x⩽2,3+log⁡ax,x>2,f(x) = \begin{cases} -x + 6, & x \leqslant 2,\\ 3 + \log_a x, & x > 2, \end{cases}
（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的值域是 [4,+∞)[4, +\infty)，则实数 aa 的取值范围是______.

2015 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 y=log⁡axy = \log_a x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 y=log⁡axy = \log_a x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 原图象经过点 (3,1)(3,1)，故 log⁡a3=1\log_a3=1，从而 a=3a=3. 因此四个选项中的函数依次为 y=3−xy=3^{-x}、y=x3y=x^3、y=(−x)3=−x3y=(-x)^3=-x^3 和 y=log⁡3(−x)y=\log_3(-x). 函数 y=3−xy=3^{-x} 在 R\mathbf{R} 上递减，函数 y=−x3y=-x^3 也在 R\mathbf{R} 上递减，均与对应图象的增减性不符；函数 y=log⁡3(−x)y=\log_3(-x) 的定义域为 (−∞,0)(-\infty,0)，且在其定义域上递减. 而 y=x3y=x^3 在 R\mathbf{R} 上递增且经过 (1,1)(1,1)，与选项 B 的图象相符. 因此选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2=3a_2 = 3，a5=81a_5 = 81.
(1) 求 ana_n； (2) 设 bn=log⁡3anb_n = \log_{3} a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等比数列的公比为 qq. 由 a5=a2q3a_5=a_2q^3，得 81=3q381=3q^3，所以 q3=27q^3=27，从而 q=3q=3. 又 a1=a2q=1a_1=\frac{a_2}{q}=1，故 an=a1qn−1=3n−1a_n=a_1q^{n-1}=3^{n-1}. \item 由 an=3n−1>0a_n=3^{n-1}>0，得 bn=log⁡3an=n−1b_n=\log_3a_n=n-1. 因此 Sn=∑k=1nbk=∑k=1n(k−1)=n(n−1)2S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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07不等式★★★☆☆
若 2x+2y=12^{x} + 2^{y} = 1，则 x+yx + y 的取值范围是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 令 u=2xu=2^x，v=2yv=2^y，则 u>0u>0，v>0v>0，且 u+v=1u+v=1. 由均值不等式，0<uv⩽140<uv\leqslant\frac14，其中上界在 u=v=12u=v=\frac12 时取得；当 uu 趋近于 00 或 11 时，uvuv 趋近于 00，但不取 00. 因此
x+y=log⁡2(uv)⩽log⁡214=−2x+y=\log_2(uv)\leqslant\log_2\frac14=-2
且下方无界，故 x+y∈(−∞,−2]x+y\in(-\infty,-2]，选 D. \end{solution}
A.
[0,2][0,2]
B.
[−2,0][-2,0]
C.
[−2,+∞)[-2, +\infty)
D.
(−∞,−2](- \infty, -2]

2013 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 y=2xy = 2^{x} 图象上存在点 (x,y)(x,y) 满足约束条件
{x+y−3⩽0,x−2y−3⩽0,x⩾m,\begin{cases} x + y - 3 \leqslant 0,\\ x - 2y - 3 \leqslant 0,\\ x \geqslant m, \end{cases}
则实数 mm 的最大值为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
1
C.
32\frac{3}{2}
D.
2

2012 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ex+xf(x)=\mathrm{e}^{x}+x. 对于曲线 y=f(x)y=f(x) 上横坐标成等差数列的三个点 AA，BB，CC，给出以下判断：
① △ABC\triangle ABC 一定是钝角三角形； ② △ABC\triangle ABC 可能是直角三角形； ③ △ABC\triangle ABC 可能是等腰三角形； ④ △ABC\triangle ABC 不可能是等腰三角形.
其中，正确的判断是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2011 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 ii 值等于（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2010 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
对于具有相同定义域 DD 的函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)，若存在函数 h(x)=kx+bh(x) = kx + b （kk，bb 为常数），对任给的正数 mm，存在相应的 x0∈Dx_0 \in D，使得当 x∈Dx \in D 且 x>x0x > x_0 时，总有
{0<f(x)−h(x)<m,0<h(x)−g(x)<m,\begin{cases} 0 < f(x) - h(x) < m,\\ 0 < h(x) - g(x) < m, \end{cases}
则称直线 l:y=kx+bl: y = kx + b 为曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 的“分渐近线”. 给出定义域均为 D={x∣x>1}D = \{x \mid x > 1\} 的四组函数如下：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}，g(x)=xg(x) = \sqrt{x}； ② f(x)=10−x+2f(x) = 10^{-x} + 2，g(x)=2x−3xg(x) = \frac{2x - 3}{x}； ③ f(x)=x2+1x2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}，g(x)=xln⁡x+1ln⁡xg(x) = \frac{x\ln x + 1}{\ln x}； ④ f(x)=2x2x+1f(x) = \frac{2x^2}{x + 1}，g(x)=2(x−1−e−x)g(x) = 2(x - 1 - \mathrm{e}^{-x}).
其中，曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 存在“分渐近线”的是（ ）
A.
①④
B.
②③
C.
②④
D.
③④

2010 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 ii 值等于（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2010 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=log⁡2xx−1y = \log_{2} \frac{x}{x - 1}（x>1x > 1）的反函数是（ ）
A.
y=2x2x−1y = \frac{2^x}{2^x - 1}（x>0x > 0）
B.
y=2x2x−1y = \frac{2^x}{2^x - 1}（x<0x < 0）
C.
y=2x−12xy = \frac{2^x - 1}{2^x}（x>0x > 0）
D.
y=2x−12xy = \frac{2^x - 1}{2^x}（x<0x < 0）

2006 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是周期为 22 的奇函数，当 0<x<10 < x < 1 时，f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 设 a=f(65)a = f\left(\frac{6}{5}\right)，b=f(32)b = f\left(\frac{3}{2}\right)，c=f(52)c = f\left(\frac{5}{2}\right)，则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
b<a<cb < a < c
C.
c<b<ac < b < a
D.
c<a<bc < a < b

2006 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=ax−bf(x)=a^{x-b} 的图象如图，其中 aa，bb 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.
a>1a > 1，b<0b < 0
B.
a>1a > 1，b>0b > 0
C.
0<a<10 < a < 1，b>0b > 0
D.
0<a<10 < a < 1，b<0b < 0

2005 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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16指数函数与对数函数★★☆☆☆
把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数 f(x)=3+log⁡2xf(x)=3+\log_{2}x 的图象与 g(x)g(x) 的图象关于______ 对称，则函数 g(x)=g(x)=______. 注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形.

2005 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=ax−bf(x) = a^{x - b} 的图象如图，其中 aa，bb 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.
a>1a > 1，b<0b < 0
B.
a>1a > 1，b>0b > 0
C.
0<a<10 < a < 1，b>0b > 0
D.
0<a<10 < a < 1，b<0b < 0

2005 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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16指数函数与对数函数★★☆☆☆
把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数 f(x)=3+log⁡2xf(x)=3+\log_{2}x 的图象与 g(x)g(x) 的图象关于______ 对称，则函数 g(x)=‾g(x)=\underline{\hspace{2em}}. 注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形.

2005 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 y=log⁡2xy=\log_2 x 的反函数是 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)，则函数 y=f−1(1−x)y=f^{-1}(1-x) 的图象是（\quad）
A.
B.
C.
D.

2004 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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