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075分指数函数与对数函数★★★☆☆
若 a=log⁡52a=\log_5 2，b=log⁡83b=\log_8 3，c=12c=\frac12，则下列判断正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
c<b<ac<b<a
B.
b<a<cb<a<c
C.
a<c<ba<c<b
D.
a<b<ca<b<c

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln \left( y-x+1 \right)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln \left( y-x+1 \right)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln \left| x-y \right|>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln \left| x-y \right|<0

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln(y-x+1)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln(y-x+1)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln\lvert x-y\rvert>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln\lvert x-y\rvert<0

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就. 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2L_2 点的轨道运行. L2L_2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 M1M_1，月球质量为 M2M_2，地月距离为 RR，L2L_2 点到月球的距离为 rr，根据牛顿运动定律和万有引力定律，rr 满足方程：M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3\dfrac{M_1}{(R+r)^2}+\dfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\dfrac{M_1}{R^3}.
设 α=rR\alpha=\dfrac rR. 由于 α\alpha 的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3\dfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3，则 rr 的近似值为（ ）
A.
RM2M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}
B.
RM22M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{2M_1}}
C.
R3M2M13R\sqrt[3]{\dfrac{3M_2}{M_1}}
D.
RM23M13R\sqrt[3]{\dfrac{M_2}{3M_1}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
若 a>ba>b，则（ ）
A.
ln⁡(a−b)>0\ln(a-b)>0
B.
3a<3b3^a<3^b
C.
a3−b3>0a^3-b^3>0
D.
∣a∣>∣b∣|a|>|b|

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=2−13a = 2^{-\frac{1}{3}}，b=log⁡213b = \log_{2} \frac{1}{3}，c=log⁡1213c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}，则（ ）
A.
a>b>ca > b > c
B.
a>c>ba > c > b
C.
c>a>bc > a > b
D.
c>b>ac > b > a

2014 · 辽宁 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=2−13a = 2^{-\frac{1}{3}}，b=log⁡213b = \log_{2} \frac{1}{3}，c=log⁡1213c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}，则（ ）
A.
a>b>ca > b > c
B.
a>c>ba > c > b
C.
c>a>bc > a > b
D.
c>b>ac > b > a

2014 · 辽宁 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣0<log⁡4x<1}A = \{x \mid 0 < \log_4 x < 1\}，B={x∣x⩽2}B = \{x \mid x \leqslant 2\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2](0,2]
C.
(1,2)(1,2)
D.
(1,2](1,2]

2013 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+9x2−3x)+1f(x) = \ln (\sqrt{1 + 9x^2} - 3x) + 1，则 f(lg⁡2)+f(lg⁡12)=f(\lg 2) + f\left(\lg \frac{1}{2}\right) =（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22

2013 · 辽宁 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={21−x,x⩽1,1−log⁡2x,x>1,f(x) = \begin{cases} 2^{1 - x}, & x \leqslant 1,\\ 1 - \log_2 x, & x > 1, \end{cases}
则满足 f(x)⩽2f(x) \leqslant 2 的 xx 取值范围是（ ）
A.
[−1,2][-1,2]
B.
[0,2][0,2]
C.
[1,+∞)[1,+\infty)
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2011 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 2a=5b=m2^a=5^b=m，且 1a+1b=2\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2，则 m=m=（ ）
A.
10\sqrt{10}
B.
10
C.
20
D.
100

2010 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x⩾4x \geqslant 4 时，f(x)=(12)xf(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x；当 x<4x < 4 时，f(x)=f(x+1)f(x) = f(x + 1). 则 f(2+log⁡23)=f(2 + \log_2 3) =（ ）
A.
124\frac{1}{24}
B.
112\frac{1}{12}
C.
18\frac{1}{8}
D.
38\frac{3}{8}

2009 · 辽宁 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
下列 44 个命题：
① p1p_1：∃x∈(0,+∞)\exists x \in (0, +\infty)，(12)x<(13)x\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{3}\right)^x； ② p2p_2：∃x∈(0,1)\exists x \in (0,1)，log⁡12x>log⁡13x\log_{\frac12} x > \log_{\frac13} x； ③ p3p_3：∀x∈(0,+∞)\forall x \in (0, +\infty)，(12)x>log⁡12x\left(\frac{1}{2}\right)^x > \log_{\frac12} x； ④ p4p_4：∀x∈(0,13)\forall x \in \left(0,\frac{1}{3}\right)，(12)x<log⁡13x\left(\frac{1}{2}\right)^x < \log_{\frac13} x.
其中的真命题是（ ）
A.
p1p_1，p3p_3
B.
p1p_1，p4p_4
C.
p2p_2，p3p_3
D.
p2p_2，p4p_4

2009 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
函数
y={x+1,x<0,ex,x⩾0,y = \begin{cases} x + 1, & x < 0,\\ \mathrm{e}^x, & x \geqslant 0, \end{cases}
的反函数是______.

2008 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=e2x+1y = \mathrm{e}^{2x + 1}（−∞<x<+∞-\infty < x < +\infty）的反函数是______.
\begin{solution} 由 y=e2x+1y=\mathrm{e}^{2x+1} 得 y>0y>0，且 ln⁡y=2x+1\ln y=2x+1，所以 x=ln⁡y−12x=\dfrac{\ln y-1}{2}. 交换 xx、yy 得反函数 y=12(ln⁡x−1)y=\dfrac{1}{2}(\ln x-1)，其定义域为原函数的值域 x>0x>0. \end{solution}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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20数列★★★★☆
在数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 是各项均为正数的等比数列，设 cn=bnanc_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 数列 {cn}\{c_{n}\} 是否为等比数列？证明你的结论； (2) 设数列 {ln⁡an}\{\ln a_n\}，{ln⁡bn}\{\ln b_n\} 的前 nn 项和分别为 SnS_n，TnT_n. 若 a1=2a_1 = 2，SnTn=n2n+1\frac{S_n}{T_n} = \frac{n}{2n + 1}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设 pp，qq 是两个命题，p:log⁡12(∣x∣−3)>0p: \log_{\frac{1}{2}}(|x| - 3) > 0，q:x2−56x+16>0q: x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} > 0，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 log⁡12(x2−5x+6)\log_{\frac{1}{2}}(x^2-5x+6) 的单调减区间为（ ）
A.
(52,+∞)\left(\frac{5}{2},+\infty\right)
B.
(3,+∞)(3,+\infty)
C.
(−∞,52)\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)
D.
(−∞,2)(-\infty,2)

2007 · 辽宁 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
与方程 y=e2x−2ex+1y = \mathrm{e}^{2x} - 2\mathrm{e}^{x} + 1（x⩾0x \geqslant 0）的曲线关于直线 y=xy = x 对称的曲线方程（ ）
A.
y=ln⁡(1+x)y = \ln (1 + \sqrt{x})
B.
y=ln⁡(1−x)y = \ln (1 - \sqrt{x})
C.
y=−ln⁡(1+x)y = -\ln (1 + \sqrt{x})
D.
y=−ln⁡(1−x)y = -\ln (1 - \sqrt{x})

2006 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
设
g(x)={ex,x⩽0,ln⁡x,x>0,g(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^x, & x \leqslant 0,\\ \ln x, & x > 0, \end{cases}
则 g(g(12))=g\left(g\left(\frac{1}{2}\right)\right) =______.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
与方程 y=e2x−2ex+1y = \mathrm{e}^{2x} - 2\mathrm{e}^{x} + 1（x⩾0x \geqslant 0）的曲线关于直线 y=xy = x 对称的曲线方程为（ ）
A.
y=ln⁡(1+x)y = \ln (1 + \sqrt{x})
B.
y=ln⁡(1−x)y = \ln (1 - \sqrt{x})
C.
y=−ln⁡(1+x)y = -\ln (1 + \sqrt{x})
D.
y=−ln⁡(1−x)y = -\ln (1 - \sqrt{x})

2006 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡2(x−1)=2−log⁡2(x+1)\log_2(x - 1) = 2 - \log_2(x + 1) 的解为______.

2006 · 辽宁 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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05指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=ln⁡(x+x2+1)y = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) 的反函数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设原函数的函数值为 yy，则 ey=x+x2+1\mathrm{e}^y=x+\sqrt{x^2+1}. 由于 (x+x2+1)(x2+1−x)=1(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)=1，有 e−y=x2+1−x\mathrm{e}^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x. 两式相减得 2x=ey−e−y2x=\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}，即 x=ey−e−y2x=\dfrac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}2. 交换 xx，yy，反函数为 y=ex−e−x2y=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}2，选 C. \end{solution}
A.
y=ex+e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}
B.
y=−ex+e−x2y = -\frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}
C.
y=ex−e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}
D.
y=−ex−e−x2y = -\frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}

2005 · 辽宁 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
若 log⁡2a1+a21+a<0\log_{2a}\frac{1 + a^2}{1 + a} < 0，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 对数有意义要求 a>0a>0 且 2a≠12a\ne1. 当 a>12a>\frac12 时，底数 2a>12a>1，要使对数小于零，必须有 0<1+a21+a<10<\dfrac{1+a^2}{1+a}<1. 因 a>0a>0，前一个不等式自动成立；后一个不等式等价于 a2<aa^2<a，即 0<a<10<a<1. 因而得到 12<a<1\frac12<a<1.
当 0<a<120<a<\frac12 时，0<2a<10<2a<1，对数小于零要求真数大于 11，即 a2>aa^2>a，这与 0<a<120<a<\frac12 矛盾. 故取值范围为 (12,1)\left(\frac12,1\right)，选 C. \end{solution}
A.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right)
D.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)

2005 · 辽宁 · 第 6 题 · 选择题

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