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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1，1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a}-\dfrac{1}{\log_a 4}=-\dfrac{5}{2}，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac1{\log_8a}-\dfrac1{\log_a4}=-\dfrac52，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)=xexeax−1f(x)=\frac{x \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{ax}-1}，若 f(x)f(x) 为偶函数，则 a=a=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
设 a=2ln⁡1.01a=2\ln 1.01，b=ln⁡1.02b=\ln 1.02，c=1.04−1c=\sqrt{1.04}-1，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<c<ab<c<a
C.
b<a<cb<a<c
D.
c<a<bc<a<b

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
下列函数中最小值为 44 的是（ ）
A.
y=x2+2x+4y=x^2+2x+4
B.
y=∣sin⁡x∣+4∣sin⁡x∣y=|\sin x|+\dfrac{4}{|\sin x|}
C.
y=2x+22−xy=2^x+2^{2-x}
D.
y=ln⁡x+4ln⁡xy=\ln x+\dfrac{4}{\ln x}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln \left( y-x+1 \right)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln \left( y-x+1 \right)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln \left| x-y \right|>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln \left| x-y \right|<0

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln(y-x+1)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln(y-x+1)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln\lvert x-y\rvert>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln\lvert x-y\rvert<0

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就. 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2L_2 点的轨道运行. L2L_2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 M1M_1，月球质量为 M2M_2，地月距离为 RR，L2L_2 点到月球的距离为 rr，根据牛顿运动定律和万有引力定律，rr 满足方程：M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3\dfrac{M_1}{(R+r)^2}+\dfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\dfrac{M_1}{R^3}.
设 α=rR\alpha=\dfrac rR. 由于 α\alpha 的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3\dfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3，则 rr 的近似值为（ ）
A.
RM2M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}
B.
RM22M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{2M_1}}
C.
R3M2M13R\sqrt[3]{\dfrac{3M_2}{M_1}}
D.
RM23M13R\sqrt[3]{\dfrac{M_2}{3M_1}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
若 a>ba>b，则（ ）
A.
ln⁡(a−b)>0\ln(a-b)>0
B.
3a<3b3^a<3^b
C.
a3−b3>0a^3-b^3>0
D.
∣a∣>∣b∣|a|>|b|

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={x∣x2=x}M = \{x \mid x^2 = x\}，N={x∣lg⁡x⩽0}N = \{x \mid \lg x \leqslant 0\}，则 M∪N=M \cup N =（ ）
A.
[0,1][0,1]
B.
(0,1](0,1]
C.
[0,1)[0,1)
D.
(−∞,1](-\infty, 1]

2015 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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09不等式★★☆☆☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，0<a<b0 < a < b，若 p=f(ab)p = f\left(\sqrt{ab}\right)，q=f(a+b2)q = f\left(\frac{a + b}{2}\right)，r=12(f(a)+f(b))r = \frac{1}{2}(f(a) + f(b))，则下列关系式中正确的是（ ）
A.
q=r<pq = r < p
B.
q=r>pq = r > p
C.
p=r<qp = r < q
D.
p=r>qp = r > q

2015 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，0<a<b0 < a < b. 若 p=f(ab)p = f\left(\sqrt{ab}\right)，q=f(a+b2)q = f\left(\frac{a + b}{2}\right)，r=12(f(a)+f(b))r = \frac{1}{2}(f(a) + f(b))，则下列关系式中正确的是（ ）
A.
q=r<pq = r < p
B.
q=r>pq = r > p
C.
p=r<qp = r < q
D.
p=r>qp = r > q

2015 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
下列函数中，满足 f(x+y)=f(x)f(y)f(x + y) = f(x)f(y) 的单调递增函数是（ ）
A.
f(x)=x12f(x) = x^{\frac{1}{2}}
B.
f(x)=x3f(x) = x^{3}
C.
f(x)=(12)xf(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}
D.
f(x)=3xf(x) = 3^{x}

2014 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 4a=24^{a} = 2，lg⁡x=a\lg x = a，则 x=x =______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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07指数函数与对数函数★☆☆☆☆
下列函数中，满足“f(x+y)=f(x)f(y)f(x + y) = f(x)f(y)”的单调递增函数是（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 逐项检验函数关系. 取 x=y=1x=y=1 时，f(x)=x12f(x)=x^{\frac{1}{2}} 给出 f(2)=2≠1=f(1)f(1)f(2)=\sqrt2\ne1=f(1)f(1)，f(x)=x3f(x)=x^3 给出 f(2)=8≠1=f(1)f(1)f(2)=8\ne1=f(1)f(1)，所以 A、B 均不满足题设关系. f(x)=(12)xf(x)=(\frac12)^x 满足 f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)，但底数在 (0,1)(0,1) 内，所以它是单调递减函数. 对于 f(x)=3xf(x)=3^x，有
f(x+y)=3x+y=3x3y=f(x)f(y)f(x+y)=3^{x+y}=3^x3^y=f(x)f(y)
且底数 3>13>1，所以它是单调递增函数. 因此选 D. \end{solution}
A.
f(x)=x12f(x) = x^{\frac{1}{2}}
B.
f(x)=x3f(x) = x^{3}
C.
f(x)=(12)xf(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x
D.
f(x)=3xf(x) = 3^{x}

2014 · 陕西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 4a=24^{a}=2，lg⁡x=a\lg x=a，则 x=x=______. \begin{answer} 10\sqrt{10} \end{answer} \begin{solution} 由 4a=24^a=2 得 22a=212^{2a}=2^1，从而 a=12a=\frac12. 又 lg⁡x=a\lg x=a，所以
x=10a=1012=10x=10^a=10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}
\end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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03指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 aa，bb，cc 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.
log⁡ab⋅log⁡cb=log⁡ca\log_a b \cdot \log_c b = \log_c a
B.
log⁡ab⋅log⁡ca=log⁡cb\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b
C.
log⁡a(bc)=log⁡ab⋅log⁡ac\log_a (bc) = \log_a b \cdot \log_a c
D.
log⁡a(b+c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b + c) = \log_a b + \log_a c

2013 · 陕西 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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23导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的反函数的图象上点 (1,0)(1,0) 处的切线方程. (2) 证明：曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=12x2+x+1y = \frac{1}{2} x^2 + x + 1 有唯一公共点. (3) 设 a<ba < b，比较 f(a+b2)f\left(\frac{a + b}{2}\right) 与 f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} 的大小，并说明理由.

2013 · 陕西 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 M={x∣lg⁡x>0}M = \{x \mid \lg x > 0\}，N={x∣x2⩽4}N = \{x \mid x^2 \leqslant 4\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
(1,2)(1,2)
B.
[1,2)[1,2)
C.
(1,2](1,2]
D.
[1,2][1,2]

2012 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
设函数
f(x)={lg⁡x,x>0,10x,x⩽0.f(x) = \begin{cases} \lg x, & x > 0,\\ 10^x, & x \leqslant 0. \end{cases}
则 f(f(−2))=f(f(-2)) =______.

2011 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
下列四类函数中，具有性质“对任意的 x>0x > 0，y>0y > 0，函数 f(x)f(x) 满足 f(x+y)=f(x)f(y)f(x + y) = f(x)f(y)”的是（ ）
A.
幂函数
B.
对数函数
C.
指数函数
D.
余弦函数

2010 · 陕西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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16导数及其应用★★★☆☆
设曲线 y=xn+1y = x^{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在点 (1,1)\left(1,1\right) 处的切线与 xx 轴的交点的横坐标为 xnx_n. 令 an=lg⁡xna_n = \lg x_n，则 a1+a2+⋯+a99a_1 + a_2 + \dots + a_{99} 的值为______.

2009 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2x+3f(x) = 2^{x + 3}，f−1(x)f^{-1}(x) 是 f(x)f(x) 的反函数，若 mn=16mn = 16（mm，n∈R+n \in \mathbf{R}^+），则 f−1(m)+f−1(n)f^{-1}(m) + f^{-1}(n) 的值为（ ）
A.
−2-2
B.
11
C.
44
D.
1010

2008 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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