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05函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)f(x) 是偶函数. 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=x−af(x)=\sqrt{x}-a. 若 f(−4)=3f(-4)=3，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

2026 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 定义域为 R\mathbf{R}. 对于正实数 aa，定义集合 Ma={x∣f(x+a)=f(x)}M_a=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}.
(1) 若 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，判断 π3\dfrac{\pi}{3} 是否是 MπM_{\pi} 的元素，请说明理由； (2) 若 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<0x<0），f(0)=0f(0)=0，且当 x>0x>0 时 f(x)=xf(x)=\sqrt{x}，Ma≠∅M_a\neq\varnothing，求 aa 的取值范围； (3) 若 y=f(x)y=f(x) 是偶函数，当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时 f(x)=1−xf(x)=1-x，且对任意 a∈(0,2)a\in(0,2)，有 Ma⊂M2M_a\subset M_2. 写出 f(x)f(x) 在 x∈(1,2)x\in(1,2) 的解析式，并证明：对任意实数 cc，函数 f(x)−cf(x)-c 在 [−3,3][-3,3] 上至多有9个零点.

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
已知
f(x)={x,x>0,1,x≤0,f(x)=\begin{cases} \sqrt{x}, & x>0,\\ 1, & x\le 0, \end{cases}
则 f(3)=f(3)=______.

2024 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 f(x)=x3+af(x)=x^3+a，x∈Rx\in \mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，则 a=a=______.

2024 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，定义集合 M={x0∣x0∈R, ∀x∈(−∞,x0), f(x)<f(x0)}M=\{x_0\mid x_0\in \mathbf{R},\ \forall x\in(-\infty,x_0),\ f(x)<f(x_0)\}. 在使得 M=[−1,1]M=[-1,1] 的所有 f(x)f(x) 中，下列成立的是（ ）
A.
存在 y=f(x)y=f(x) 是偶函数
B.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=2x=2 处取最大值
C.
存在 y=f(x)y=f(x) 是严格增函数
D.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=−1x=-1 处取到极小值

2024 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
函数
y={2x,x>0,1,x≤0,y=\begin{cases} 2^x,&x>0,\\ 1,&x\le 0, \end{cases}
的值域为______.

2023 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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19函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=x2+(3a+1)x+cx+af(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}，aa，c∈Rc\in\mathbf{R}
(1) 当 a=0a=0 时，是否存在实数 cc，使得 y=f(x)y=f(x) 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 y=f(x)y=f(x) 的图像过点 (1,3)(1,3)，且其与 xx 轴的负半轴有两个不同的交点，求 cc 的值及 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为奇函数，且
f(x)={a2x−1,x<0,x+a,x>0,f(x)=\begin{cases} a^2x-1, & x<0,\\ x+a, & x>0, \end{cases}
则实数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 y=f(x)y=f(x)，定义域为 [0,+∞)[0,+\infty)，值域为 AA，且对定义域中任意实数 xx 都成立 f(x)=f(1x+1)f(x)=f\left(\frac1{x+1}\right). 若 {y∣y=f(x),x∈[0,a]}=A\{y\mid y=f(x),x\in[0,a]\}=A，则实数 aa 的取值范围是______.

2022 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 f(x)=3x+2f(x)=\frac{3}{x}+2，则 f−1(1)=f^{-1}(1)=______.

2021 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A.
y=−3xy=-3x
B.
y=x3y=x^3
C.
y=log⁡3xy=\log_3 x
D.
y=3xy=3^x

2021 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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21函数与初等函数★★★★★
已知 x1x_1，x2∈Rx_2\in \mathbf{R}，若对任意的 x2−x1∈Sx_2-x_1\in S，f(x2)−f(x1)∈Sf(x_2)-f(x_1)\in S，则有定义：f(x)f(x) 是在 SS 关联的.
(1) 判断和证明 f(x)=2x−1f(x)=2x-1 是否在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联？是否有 [0,1][0,1] 关联？ (2) 若 f(x)f(x) 是在 {3}\{3\} 关联的，f(x)f(x) 在 x∈[0,3)x\in[0,3) 时，f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x，求解不等式 2≤f(x)≤32\le f(x)\le 3； (3) 证明：f(x)f(x) 是 {1}\{1\} 关联的，且是在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联的，当且仅当“f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 是关联的”.

2021 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=x3f(x)=x^3，f−1(x)f^{-1}(x) 是 f(x)f(x) 的反函数，则 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2020 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若存在定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x) 同时满足下列两个条件：
(1) 对任意的 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，f(x0)f(x_0) 的值为 x0x_0 或 x02x_0^2； (2) 关于 xx 的方程 f(x)=af(x)=a 无实数解，
则 aa 的取值范围是______.

2020 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：存在 a∈Ra\in\mathbf{R} 且 a≠0a\neq0，对于任意的 x∈Rx\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)<f(x)+f(a)f(x+a)<f(x)+f(a)；
命题 q1q_1：f(x)f(x) 单调递减且 f(x)>0f(x)>0 恒成立；
命题 q2q_2：f(x)f(x) 单调递增，存在 x0<0x_0<0 使得 f(x0)=0f(x_0)=0，
则下列说法正确的是（ ）
A.
只有 q1q_1 是 pp 的充分条件
B.
只有 q2q_2 是 pp 的充分条件
C.
q1q_1，q2q_2 都是 pp 的充分条件
D.
q1q_1，q2q_2 都不是 pp 的充分条件

2020 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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19函数与初等函数★★★☆☆
在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 v=f(x)=qxv=f(x)=\frac{q}{x}，其中 xx 为道路密度，qq 为车辆密度，且 f(x)=100−135(13)80xf(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}（0<x<400<x<40）， f(x)=−k(x−40)+85f(x)=-k(x-40)+85（40≤x≤8040\le x\le80）.
(1) 若交通流量 v>95v>95，求道路密度 xx 的取值范围； (2) 已知道路密度 x=80x=80 时，测得交通流量 v=50v=50，求车辆密度 qq 的最大值.

2020 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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06函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 周期为 11，且当 0<x≤10<x\le1 时，f(x)=−log⁡2xf(x)=-\log_2x，则 f(32)=f\left(\frac32\right)=______.

2019 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 xx，y∈R+y\in\mathbf{R}^+，且 1x+2y=3\frac1x+2y=3，则 yx\frac yx 的最大值为______.

2019 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
常数 a>0a>0，将函数 y=2xy=\frac2x（x>0x>0）的图象先向右平移 11 个单位，再向下平移 aa 个单位，然后将所得的图象在 xx 轴下方的部分沿 xx 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到函数 f(x)=∣2x−1−a∣f(x)=\left|\frac2{x-1}-a\right|（x>1x>1）的图象 LL，当 a=a0a=a_0 时，LL 与 xx 轴交点为 AA，在 LL 上任意一点 PP（PP 异于 AA），总存在一点 QQ 使得 AP⊥AQAP\perp AQ 且 ∣AP∣=∣AQ∣|AP|=|AQ|，则 a0=a_0=______.

2019 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★★
已知 ω∈R\omega\in\mathbf{R}，函数 f(x)=(x−6)2sin⁡(ωx)f(x)=(x-6)^2\sin(\omega x)，存在常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)f(x+a) 为偶函数，则 ω\omega 可能的值为（ ）
A.
π2\frac\pi2
B.
π3\frac\pi3
C.
π4\frac\pi4
D.
π5\frac\pi5

2019 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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