已知函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$, 对于正实数 $a$, 定义集合 $M_a = \{x \mid f(x + a) = f(x), x \in \mathbb{R}\}$。

(1) 设 $f(x) = \sin x$, 判断 $\frac{\pi}{3}$ 是否是 $M_\pi$ 中的元素, 并说明理由;

(2) 设 $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0, \\ \sqrt{x}, & x \ge 0, \end{cases}$ 且 $M_a \ne \varnothing$, 求 $a$ 的取值范围;

(3) 若 $y = f(x)$ 是偶函数, 当 $x \in (0, 1]$ 时, $f(x) = 1 - x$, 且对任意 $a \in (0, 2)$, 均有 $M_a \subseteq M_2$。写出当 $x \in (1, 2)$ 时 $f(x)$ 的表达式, 并证明: 对任意实数 $c$, 函数 $y = f(x) - c$ 在区间 $[-3, 3]$ 上至多有 $9$ 个零点。

函数 $y = \begin{cases} 2^x, & x > 0 \\ 1, & x \leqslant 0 \end{cases}$ 的值域为______.

设 $a$、$c \in \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2 + (3a + 1)x + c}{x + a}$.

(1) 当 $a = 0$ 时, 是否存在实数 $c$, 使得 $y = f(x)$ 为奇函数? 请说明理由;

(2) 若函数 $y = f(x)$ 的图象过点 $(1, 3)$, 且其与 $x$ 轴的负半轴有两个不同的交点, 求 $c$ 的值及 $a$ 的取值范围.