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15函数与初等函数★★★★★
已知 f(x)=∣x2−cos⁡x−c2∣f(x)=\left| x^2-\cos x-c^2 \right|，给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在 (−1,1]\left( -1,1 \right] 上有最小值和最大值 ② c=0c=0，f(x)=1f(x)=1 有 3 个解 ③ c=1c=1，x∈(−1,2]x\in \left( -1,2 \right] 时，f(x)f(x) 有最大值 ④ c>0c>0，f(x)f(x) 与 y=cy=c 有 4 个交点
其中正确结论的序号是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<−ax<-a），f(x)=a2−x2f(x)=\sqrt{a^2-x^2}（−a≤x≤a-a\le x\le a），f(x)=−x−1f(x)=-\sqrt{x}-1（x>ax>a）. 给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1,+\infty) 上单调递减； ② 当 a≥1a\ge 1 时，f(x)f(x) 存在最大值； ③ 设 M(x1,f(x1))M(x_1,f(x_1))（x1≤ax_1\le a），N(x2,f(x2))N(x_2,f(x_2))（x2>ax_2>a），则 ∣MN∣>1|MN|>1； ④ 设 P(x3,f(x3))P(x_3,f(x_3))（x3<−ax_3<-a），Q(x4,f(x4))Q(x_4,f(x_4))（x4≥−ax_4\ge -a）.
若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值，则 aa 的取值范围是 (0,12]\left(0,\dfrac{1}{2}\right].
其中所有正确结论的序号是______.

2023 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x+1−xf(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1-x} 的定义域是______.

2022 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=Asin⁡x−3cos⁡xf(x)=A\sin x-\sqrt3\cos x 的一个零点为 π3\dfrac{\pi}{3}，则 A=A=______；f(π12)=f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=______.

2022 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={−ax+1,x<a,(x−2)2,x≥af(x)=\begin{cases} -ax+1,&x<a,\\ \left(x-2\right)^2,&x\ge a \end{cases}
，若 f(x)f(x) 存在最小值，则 aa 的一个取值为______；aa 的最大值为______.

2022 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x+1+ln⁡xf(x)=\dfrac{1}{x+1}+\ln x 的定义域是______.

2020 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 WW 与时间 tt 的关系为 W=f(t)W=f(t)，用 −f(b)−f(a)b−a-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小评价在 [a,b][a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 [t1,t2][t_1,t_2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2t_2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3t_3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在 [0,t1][0,t_1]，[t1,t2][t_1,t_2]，[t2,t3][t_2,t_3] 这三段时间中，在 [0,t1][0,t_1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.

2020 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ex+ae−xf(x)=\mathrm{e}^x+a\mathrm{e}^{-x}（aa 为常数），若 f(x)f(x) 为奇函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}；若 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的增函数，则 aa 的取值范围是______.

2019 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃. 价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃，价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
能说明“若 f(x)>f(0)f(x)>f(0) 对任意的 x∈(0,2]x\in(0,2] 都成立，则 f(x)f(x) 在 [0,2][0,2] 上是增函数”为假命题的一个函数是______.

2018 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 AiA_i 的横，纵坐标分别为第 ii 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 BiB_i 的横，纵坐标分别为第 ii 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1i=1，22，33.
(1) 记 QiQ_i 为第 ii 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1Q_1，Q2Q_2，Q3Q_3 中最大的是______； (2) 记 pip_i 为第 ii 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1p_1，p2p_2，p3p_3 中最大的是______.

2017 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
已知 x≥0x\ge0，y≥0y\ge0，且 x+y=1x+y=1，则 x2+y2x^2+y^2 的取值范围是______.

2017 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=xx−1f(x)=\dfrac{x}{x-1}（x≥2x\ge 2）的最大值为______.

2016 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={2x−a,x<1,4(x−a)(x−2a),x⩾1.f(x)=\begin{cases} 2^x-a, & x<1,\\ 4(x-a)(x-2a), & x\geqslant 1. \end{cases}
(1) 若 a=1a=1，则 f(x)f(x) 的最小值为______； (2) 若 f(x)f(x) 恰有 22 个零点，则实数 aa 的取值范围是______.
\begin{answer} −1-1，[12,1)∪[2,+∞)\left[\dfrac{1}{2},1\right)\cup[2,+\infty) \end{answer}
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=1a=1 时，x<1x<1 时 f(x)=2x−1f(x)=2^x-1，该函数递增且下界为 −1-1. 当 x⩾1x\geqslant1 时，f(x)=4(x−1)(x−2)f(x)=4(x-1)(x-2)，其顶点为 (32,−1)\left(\frac32,-1\right)，且顶点在定义域内. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 −1-1. \item 当 x<1x<1 时，方程 f(x)=0f(x)=0 等价于 2x=a2^x=a，它有一个定义域内的根当且仅当 0<a<20<a<2. 当 x⩾1x\geqslant1 时，方程 f(x)=0f(x)=0 的根为 x=ax=a 和 x=2ax=2a，分别满足定义域条件当且仅当 a⩾1a\geqslant1 和 a⩾12a\geqslant\frac12.
当 a⩽0a\leqslant0 时没有零点；当 0<a<120<a<\frac12 时只有第一个分支的一个零点；当 12⩽a<1\frac12\leqslant a<1 时有第一个分支的一个零点和第二分支的一个零点；当 1⩽a<21\leqslant a<2 时共有三个零点. 当 a⩾2a\geqslant2 时第一个分支没有零点，而第二分支的两个根均在定义域内. 因此恰有两个零点时，a∈[12,1)∪[2,+∞)a\in\left[\frac12,1\right)\cup[2,+\infty). \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
函数
f(x)={log⁡12x,x⩾1,2x,x<1f(x)=\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}x,&x\geqslant1,\\ 2^{x},&x<1 \end{cases}
的值域为______.

2013 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★★
已知 f(x)=m(x−2m)(x+m+3)f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2g(x)=2^x-2. 若同时满足条件：
① ∀x∈R\forall x\in\mathbf{R}，f(x)<0f(x)<0 或 g(x)<0g(x)<0； ② ∃x∈(−∞,−4)\exists x\in(-\infty,-4)，f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0，
则 mm 的取值范围是______.

2012 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={2x,x⩾2,(x−1)3,x<2,f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & x \geqslant 2,\\ (x - 1)^3, & x < 2, \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=kf(x) = k 有两个不同的实根，则实数 kk 的取值范围是______.

2011 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={2x,x⩾2,(x−1)3,x<2,f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & x \geqslant 2,\\ (x - 1)^3, & x < 2, \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=kf(x) = k 有两个不同的实根，则实数 kk 的取值范围是______.

2011 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
如图放置的边长为 1 的正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动. 设顶点 P(x,y)P(x, y) 的轨迹方程是 y=f(x)y = f(x)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______；y=f(x)y = f(x) 在其两个相邻零点间的图象与 xx 轴所围区域的面积为______.
说明：“正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动”包括沿 xx 轴正方向和沿 xx 轴负方向滚动. 沿 xx 轴正方向滚动指的是先以顶点 AA 为中心顺时针旋转，当顶点 BB 落在 xx 轴上时，再以顶点 BB 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形 PABCPABC 可以沿 xx 轴负方向滚动.

2010 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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09函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数
y={log⁡2x,x⩾22−x,x<2y = \begin{cases} \log_{2} x, & x \geqslant 2\\ 2 - x, & x < 2 \end{cases}
，如图表示的是给定 xx 的值，求其对应的函数值 yy 的程序框图. ① 应填写______；② 应填写______.

2010 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
如图放置的边长为 1 的正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动. 设顶点 P(x,y)P(x, y) 的纵坐标与横坐标的函数关系是 y=f(x)y = f(x)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______；y=f(x)y = f(x) 在其两个相邻零点间的图象与 xx 轴所围区域的面积为______.
说明：“正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动”包括沿 xx 轴正方向和沿 xx 轴负方向滚动. 沿 xx 轴正方向滚动指的是先以顶点 AA 为中心顺时针旋转，当顶点 BB 落在 xx 轴上时，再以顶点 BB 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形 PABCPABC 可以沿 xx 轴负方向滚动.

2010 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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11导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是偶函数. 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线的斜率为 11，则该曲线在 (−1,f(−1))(-1, f(-1)) 处的切线的斜率为______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 偶函数满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). 对等式两边求导，得 −f′(−x)=f′(x)-f'(-x)=f'(x). 令 x=1x=1，则 −f′(−1)=f′(1)=1-f'(-1)=f'(1)=1，所以 f′(−1)=−1f'(-1)=-1，即所求切线斜率为 −1-1. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数
f(x)={1x,x<0,(13)x,x⩾0,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 0,\\ \left(\frac{1}{3}\right)^x, & x \geqslant 0, \end{cases}
则不等式 ∣f(x)∣⩾13|f(x)| \geqslant \frac{1}{3} 的解集为______.
\begin{answer} [−3,1][-3,1] \end{answer}
\begin{solution} 当 x<0x<0 时，f(x)=1x<0f(x)=\dfrac1x<0，故 ∣f(x)∣=−1x|f(x)|=-\dfrac1x. 不等式 −1x⩾13-\dfrac1x\geqslant\dfrac13 在 x<0x<0 下等价于 x⩾−3x\geqslant-3，所得解集为 [−3,0)[-3,0).
当 x⩾0x\geqslant0 时，∣f(x)∣=(13)x|f(x)|=\left(\dfrac13\right)^x. 因为底数 13∈(0,1)\dfrac13\in(0,1)，所以 (13)x⩾(13)1\left(\dfrac13\right)^x\geqslant\left(\dfrac13\right)^1 等价于 x⩽1x\leqslant1，所得解集为 [0,1][0,1]. 合并得解集 [−3,1][-3,1]. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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