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19解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点是 (2,0)\left( 2,0 \right)，离心率为 12\frac{1}{2}.
(1) 求 EE 的方程； (2) 过点 A(1,1)A\left( 1,1 \right)，斜率为 kk（k≠±1k\neq \pm 1）的直线交椭圆 EE 于 BB，CC 两点，BB 关于 y=xy=x 的对称点为 DD，DCDC 交 y=xy=x 于 QQ，若 ∣S△ABQ−S△ACQ∣=58\left| S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ} \right|=\frac{5}{8}，求 kk.

2026 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设 A=(aij)m×nA=\left( a_{ij} \right)_{m\times n} 是一个 mm 行 nn 列的数阵，且数阵中的每一项 aij∈{−1,1}a_{ij}\in \left\{ -1,1 \right\}，都等于 1 或 −1-1. 若对任意 1≤i1\le i， p≤m\ p\le m，1≤j1\le j， q≤n\ q\le n，其中 i≠pi\neq p，j≠qj\neq q，且 ∣∣i−p∣−∣j−q∣∣=2\left| \left| i-p \right|-\left| j-q \right| \right|=2，都有 aij+aiq+apj+apq=0a_{ij}+a_{iq}+a_{pj}+a_{pq}=0，则称数阵 AA 具有性质 PP.
(1) 判断下列两个数表是否具有性质 PP：
| A1=A_1= \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
11−1-11
(2) 在所有具有性质 PP 的 5×45\times 4 数阵中，1 的个数最多是多少？ (3) 若 m=n=6m=n=6，a11=1a_{11}=1，且数阵 AA 具有性质 PP，证明：对任意 ii，j∈{1,2,3,4,5,6}j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}，都有 aij=ai1a1ja_{ij}=a_{i1}a_{1j}.

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15函数与初等函数★★★★☆
关于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x)，以下说法正确的有（ ）
A.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递增的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
B.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递减的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
C.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)+f(−x)=cos⁡xf(x)+f(-x)=\cos x
D.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)−f(−x)=cos⁡xf(x)-f(-x)=\cos x

2025 · 北京 · 第 15 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），以椭圆 EE 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 (0,t)(0,t)（t>2t>\sqrt{2}）且斜率存在的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，过点 AA 和 C(0,1)C(0,1) 的直线 ACAC 与椭圆 EE 的另一个交点为 DD.
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率； (2) 若直线 BDBD 的斜率为 0，求 tt 的值.

2024 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的右焦点为 (1,0)(1,0)，且经过点 A(0,1)A(0,1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 OO 为原点，直线 l:y=kx+tl:y=kx+t（t≠±1t\ne\pm1）与椭圆 CC 交于两个不同点 PP，QQ，直线 APAP 与 xx 轴交于点 MM，直线 AQAQ 与 xx 轴交于点 NN，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2，求证：直线 ll 经过定点.

2019 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 过点 P(1,1)P(1,1). 过点 (0,12)\left(0,\dfrac12\right) 作直线 ll 与抛物线 CC 交于不同的两点 MM，NN，过点 MM 作 xx 轴的垂线分别与直线 OPOP，ONON 交于点 AA，BB，其中 OO 为原点.
(1) 求抛物线 CC 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2) 求证：AA 为线段 BMBM 的中点.

2017 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+c.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 设 a=b=4a=b=4，若函数 f(x)f(x) 有三个不同零点，求 cc 的取值范围； (3) 求证：a2−3b>0a^2-3b>0 是 f(x)f(x) 有三个不同零点的必要而不充分条件.

2016 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x22−kln⁡xf(x) = \frac{x^2}{2} - k\ln x，k>0k > 0.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间和极值； (2) 证明：若 f(x)f(x) 存在零点，则 f(x)f(x) 在区间 (1,e](1, \sqrt{\mathrm{e}}] 上仅有一个零点.

2015 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2+3y2=3C: x^{2} + 3y^{2} = 3，过点 D(1,0)D(1,0) 且不过点 E(2,1)E(2,1) 的直线与椭圆 CC 交于 AA，BB 两点，直线 AEAE 与直线 x=3x = 3 交于点 MM.
(1) 求椭圆 CC 的离心率； (2) 若直线 ABAB 垂直于 xx 轴，求直线 BMBM 的斜率； (3) 试判断直线 BMBM 与直线 DEDE 的位置关系，并说明理由.

2015 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知曲线 C:(5−m)x2+(m−2)y2=8C:(5-m)x^2+(m-2)y^2=8（m∈Rm\in\mathbf{R}）.
(1) 若曲线 CC 是焦点在 xx 轴上的椭圆，求 mm 的取值范围； (2) 设 m=4m=4，曲线 CC 与 yy 轴的交点为 AA，BB（点 AA 位于点 BB 的上方），直线 y=kx+4y=kx+4 与曲线 CC 交于不同的两点 MM，NN，直线 y=1y=1 与直线 BMBM 交于点 GG. 求证：AA，GG，NN 三点共线.

2012 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
设 AA 是如下形式的 2 行 3 列的数表，
abcdef\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \end{array}
满足性质 PP：aa，bb，cc，dd，ee，f∈[−1,1]f \in [-1, 1]，且 a+b+c+d+e+f=0a + b + c + d + e + f = 0. 记 ri(A)r_i(A) 为 AA 的第 ii 行各数之和 （i=1i = 1，22），cj(A)c_j(A) 为 AA 的第 jj 列各数之和 （j=1j = 1，22，33）；记 k(A)k(A) 为 ∣r1(A)∣|r_1(A)|，∣r2(A)∣|r_2(A)|，∣c1(A)∣|c_1(A)|，∣c2(A)∣|c_2(A)|，∣c3(A)∣|c_3(A)| 中的最小值.
(1) 对如下数表 AA，求 k(A)k(A) 的值；
11−0.80.1−0.3−1\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -0.8 \\ 0.1 & -0.3 & -1 \end{array}
(2) 设数表 AA 形如
11−1−2ddd−1\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 - 2d \\ d & d & -1 \end{array}
其中 −1⩽d⩽0-1 \leqslant d \leqslant 0. 求 k(A)k(A) 的最大值； (3) 对所有满足性质 PP 的 2 行 3 列的数表 AA，求 k(A)k(A) 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 该数表的两行和分别为 1.21.2 和 −1.2-1.2，三列和分别为 1.11.1，0.70.7 和 −1.8-1.8. 所以 k(A)=min⁡{1.2,1.2,1.1,0.7,1.8}=0.7k(A)=\min\{1.2,1.2,1.1,0.7,1.8\}=0.7.
\item 该数表的行和、列和分别为 r1=1−2dr_1=1-2d，r2=−1+2dr_2=-1+2d，c1=c2=1+dc_1=c_2=1+d，c3=−2−2dc_3=-2-2d. 因为 −1⩽d⩽0-1\leqslant d\leqslant0，有 ∣r1∣=∣r2∣=1−2d⩾1+d⩾0|r_1|=|r_2|=1-2d\geqslant1+d\geqslant0，且 ∣c3∣=2(1+d)⩾1+d|c_3|=2(1+d)\geqslant1+d. 因此 k(A)=1+dk(A)=1+d，其最大值在 d=0d=0 时取得，最大值为 11.
\item 交换两行、交换三列以及同时将全部元素变号，都不改变 k(A)k(A). 三个列和的总和为零，所以至少有两个列和同为非负数或同为非正数；通过交换列并在必要时将全部元素变号，可设所选两列为 c1⩾0c_1\geqslant0、c2⩾0c_2\geqslant0. 再交换两行，可设 r1⩾0r_1\geqslant0. 因而 k(A)⩽r1k(A)\leqslant r_1，k(A)⩽c1k(A)\leqslant c_1，k(A)⩽c2k(A)\leqslant c_2，从而
3k(A)⩽r1+c1+c2=(a+b+c)+(a+d)+(b+e)=a+b−f⩽33k(A)\leqslant r_1+c_1+c_2 =(a+b+c)+(a+d)+(b+e) =a+b-f\leqslant3
所以 k(A)⩽1k(A)\leqslant1. 第（2）问取 d=0d=0 时，数表仍满足性质 PP，且 k(A)=1k(A)=1，故所有满足性质 PP 的数表中 k(A)k(A) 的最大值为 11. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 G:x2a2+y2b2=1G: \frac{x^2}{a^{2}} + \frac{y^2}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 63\frac{\sqrt{6}}{3}，右焦点为 (22,0)(2\sqrt{2}, 0)，斜率为 1 的直线 ll 与椭圆 GG 交于 AA，BB 两点. 以 ABAB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(−3,2)P(-3, 2).
(1) 求椭圆 GG 的方程； (2) 求 △PAB\triangle PAB 的面积.

2011 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡2x+sin⁡2x−4cos⁡xf(x) = 2\cos 2x + \sin^2 x - 4\cos x.
(1) 求 f(π3)f\left(\frac{\pi}{3}\right) 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的最大值和最小值.

2010 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=a3x3+bx2+cx+df(x) = \frac{a}{3} x^3 + bx^2 + cx + d （a>0a > 0），且方程 f′(x)−9x=0f'(x) - 9x = 0 的两个根分别为 1，4.
(1) 当 a=3a = 3 且曲线 y=f(x)y = f(x) 过原点时，求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 若 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内无极值点，求 a 的取值范围.

2010 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+3bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + 3bx + c（b≠0b \neq 0），且 g(x)=f(x)−2g(x) = f(x) - 2 是奇函数.
(1) 求 aa，cc 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间.

2008 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r2r，短半轴长为 rr. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 ABAB 是半椭圆的短轴，上底 CDCD 的端点在椭圆上，记 CD=2xCD = 2x，梯形面积为 SS.
(1) 求面积 SS 以 xx 为自变量的函数式，并写出其定义域. (2) 求面积 SS 的最大值.

2007 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 y=kxy = kx 与 y=x2+2y = x^2 + 2（x⩾0x \geqslant 0）的图象相交于 A(x1,y1)A(x_1, y_1)，B(x2,y2)B(x_2, y_2). l1l_1，l2l_2 分别是 y=x2+2y = x^2 + 2（x⩾0x \geqslant 0）的图象在 AA，BB 两点的切线，MM，NN 分别是 l1l_1，l2l_2 与 xx 轴的交点.
(1) 求 kk 的取值范围. (2) 设 tt 为点 MM 的横坐标，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，写出 tt 以 x1x_{1} 为自变量的函数式，并求其定义域和值域. (3) 试比较 ∣OM∣|OM| 与 ∣ON∣|ON| 的大小，并说明理由（OO 是坐标原点）.

2007 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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