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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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135分函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=x3(a⋅2x−2−x)f(x)=x^3\left( a\cdot 2^x-2^{-x} \right) 是偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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085分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f\left( x \right) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(x+2)f\left( x+2 \right) 为偶函数，f(2x+1)f\left( 2x+1 \right) 为奇函数，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
f(−12)=0f\left( -\frac12 \right)=0
B.
f(−1)=0f\left( -1 \right)=0
C.
f(2)=0f\left( 2 \right)=0
D.
f(4)=0f\left( 4 \right)=0

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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145分函数与初等函数★★★☆☆
写出一个函数 f(x)=‾f\left( x \right)=\underline{\hspace{2em}}，使其同时具有下列性质：
① f(x1x2)=f(x1)f(x2)f\left( x_1x_2 \right)=f\left( x_1 \right)f\left( x_2 \right)； ② 当 x∈(0,+∞)x\in \left( 0,+\infty \right) 时，f′(x)>0f'\left( x \right)>0； ③ f′(x)f'\left( x \right) 是奇函数.
\begin{answer} x4x^4 \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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2115分概率与统计★★★★★
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 00 代，经过一次繁殖后为第 11 代，再经过一次繁殖后为第 22 代，依此类推. 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 XX 表示 11 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi>0P(X=i)=p_i>0，其中 i=0i=0，11，22，33.
(1) 已知 p0=0.4p_0=0.4，p1=0.3p_1=0.3，p2=0.2p_2=0.2，p3=0.1p_3=0.1，求 E(X)E(X)； (2) 设 pp 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，pp 是关于 xx 的方程 p0+p1x+p2x2+p3x3=xp_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3=x 的一个最小正实根，求证：当 E(X)≤1E(X)\le1 时，p=1p=1，当 E(X)>1E(X)>1 时，p<1p<1； (3) 根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 21 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(x−1)ex−ax2+bf(x)=(x-1)\mathrm{e}^x-ax^2+b.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：f(x)f(x) 有一个零点.
① 12<a≤e22\dfrac12<a\le\dfrac{\mathrm{e}^2}{2}，b>2ab>2a； ② 0<a<120<a<\dfrac12，b≤2ab\le2a.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(x+1)f(x+1) 为奇函数，f(x+2)f(x+2) 为偶函数，当 x∈[1,2]x\in [1,2] 时，f(x)=ax2+bf(x)=ax^2+b. 若 f(0)+f(3)=6f(0)+f(3)=6，则 f(92)=f\left( \frac{9}{2} \right)=（ ）
A.
−94-\dfrac{9}{4}
B.
−32-\dfrac{3}{2}
C.
74\dfrac{7}{4}
D.
52\dfrac{5}{2}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a>0a>0 且 a≠1a\ne 1，函数 f(x)=xaaxf(x)=\dfrac{x^a}{a^x}（x>0x>0）.
(1) 当 a=2a=2 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=1y=1 有且仅有两个交点，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中是增函数的是（ ）
A.
f(x)=−xf(x)=-x
B.
f(x)=(23)xf(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^x
C.
f(x)=x2f(x)=x^2
D.
f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x}

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
在一个正方体中，过顶点 AA 的三条棱的中点分别为 EE，FF，GG. 该正方体截去三棱锥 A−EFGA-EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A.
B.
C.
D.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的奇函数，且 f(1+x)=f(−x)f(1+x)=f(-x). 若 f(−13)=13f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}，则 f(53)=f\left(\frac{5}{3}\right)=（ ）
A.
−53-\frac{5}{3}
B.
−13-\frac{1}{3}
C.
13\frac{1}{3}
D.
53\frac{5}{3}

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=1−x1+xf(x)=\frac{1-x}{1+x}，则下列函数中为奇函数的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
f(x−1)−1f(x-1)-1
B.
f(x−1)+1f(x-1)+1
C.
f(x+1)−1f(x+1)-1
D.
f(x+1)+1f(x+1)+1

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=1−x1+xf(x)=\dfrac{1-x}{1+x}，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.
f(x−1)−1f(x-1)-1
B.
f(x−1)+1f(x-1)+1
C.
f(x+1)−1f(x+1)-1
D.
f(x+1)+1f(x+1)+1

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 [0,1][0,1]，则“f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上单调递增”是“f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最大值为 f(1)f(1)”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2021 · 北京 · 第 3 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=ln⁡∣x∣x2+2y=\dfrac{\ln |x|}{x^2+2} 的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2021 · 天津 · 第 3 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数
f(x)={cos⁡(2πx−2πa),x<a,x2−2(a+1)x+a2+5,x≥af(x)=\begin{cases} \cos\left( 2\pi x-2\pi a \right), & x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5, & x\ge a \end{cases}
若 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)\left( 0,+\infty \right) 内恰有 66 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(2,94]∪(52,114]\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
B.
(74,2)∪(52,114]\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
C.
(2,94]∪[114,3)\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)
D.
(74,2)∪[114,3)\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)

2021 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 f(x)=3x+2f(x)=\frac{3}{x}+2，则 f−1(1)=f^{-1}(1)=______.

2021 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A.
y=−3xy=-3x
B.
y=x3y=x^3
C.
y=log⁡3xy=\log_3 x
D.
y=3xy=3^x

2021 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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21函数与初等函数★★★★★
已知 x1x_1，x2∈Rx_2\in \mathbf{R}，若对任意的 x2−x1∈Sx_2-x_1\in S，f(x2)−f(x1)∈Sf(x_2)-f(x_1)\in S，则有定义：f(x)f(x) 是在 SS 关联的.
(1) 判断和证明 f(x)=2x−1f(x)=2x-1 是否在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联？是否有 [0,1][0,1] 关联？ (2) 若 f(x)f(x) 是在 {3}\{3\} 关联的，f(x)f(x) 在 x∈[0,3)x\in[0,3) 时，f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x，求解不等式 2≤f(x)≤32\le f(x)\le 3； (3) 证明：f(x)f(x) 是 {1}\{1\} 关联的，且是在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联的，当且仅当“f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 是关联的”.

2021 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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08导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=3x+a3x+1f(x)=3^x+\dfrac{a}{3^x+1}（a>0a>0） 的最小值为 55，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
下列函数中，在定义域内存在反函数的是（ ）.
A.
x2x^2
B.
sin⁡x\sin x
C.
2x2^x
D.
y=1y=1

2021 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 R\mathbb R，下列是 f(x)f(x) 无最大值的充分条件是（ ）.
A.
f(x)f(x) 为偶函数且关于直线 x=1x=1 对称
B.
f(x)f(x) 为偶函数且关于点 (1,1)(1,1) 对称
C.
f(x)f(x) 为奇函数且关于直线 x=1x=1 对称
D.
f(x)f(x) 为奇函数且关于点 (1,1)(1,1) 对称

2021 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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