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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f\left( x \right) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，f(x)+f(x−2)=0f\left( x \right)+f\left( x-2 \right)=0，且当 x∈[32,3]x\in \left[ \frac{3}{2},3 \right] 时，f(x)=x2+ax+bf\left( x \right)=x^2+ax+b，则
A.
a=−2a=-2，b=−3b=-3
B.
a=−2a=-2，b=3b=3
C.
a=−4a=-4，b=−3b=-3
D.
a=−4a=-4，b=3b=3

2026 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数 f(x)f(x) 是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A.
f(x)=1x2+1f(x)=\frac{1}{x^2+1}
B.
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x
C.
f(x)=2−x−2xf(x)=2^{-x}-2^x
D.
f(x)=ln⁡5+x5−xf(x)=\ln \frac{5+x}{5-x}

2026 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★★
已知 f(x)=∣x2−cos⁡x−c2∣f(x)=\left| x^2-\cos x-c^2 \right|，给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在 (−1,1]\left( -1,1 \right] 上有最小值和最大值 ② c=0c=0，f(x)=1f(x)=1 有 3 个解 ③ c=1c=1，x∈(−1,2]x\in \left( -1,2 \right] 时，f(x)f(x) 有最大值 ④ c>0c>0，f(x)f(x) 与 y=cy=c 有 4 个交点
其中正确结论的序号是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点是 (2,0)\left( 2,0 \right)，离心率为 12\frac{1}{2}.
(1) 求 EE 的方程； (2) 过点 A(1,1)A\left( 1,1 \right)，斜率为 kk（k≠±1k\neq \pm 1）的直线交椭圆 EE 于 BB，CC 两点，BB 关于 y=xy=x 的对称点为 DD，DCDC 交 y=xy=x 于 QQ，若 ∣S△ABQ−S△ACQ∣=58\left| S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ} \right|=\frac{5}{8}，求 kk.

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21函数与初等函数★★★★★
设 A=(aij)m×nA=\left( a_{ij} \right)_{m\times n} 是一个 mm 行 nn 列的数阵，且数阵中的每一项 aij∈{−1,1}a_{ij}\in \left\{ -1,1 \right\}，都等于 1 或 −1-1. 若对任意 1≤i1\le i， p≤m\ p\le m，1≤j1\le j， q≤n\ q\le n，其中 i≠pi\neq p，j≠qj\neq q，且 ∣∣i−p∣−∣j−q∣∣=2\left| \left| i-p \right|-\left| j-q \right| \right|=2，都有 aij+aiq+apj+apq=0a_{ij}+a_{iq}+a_{pj}+a_{pq}=0，则称数阵 AA 具有性质 PP.
(1) 判断下列两个数表是否具有性质 PP：
| A1=A_1= \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
11−1-11
(2) 在所有具有性质 PP 的 5×45\times 4 数阵中，1 的个数最多是多少？ (3) 若 m=n=6m=n=6，a11=1a_{11}=1，且数阵 AA 具有性质 PP，证明：对任意 ii，j∈{1,2,3,4,5,6}j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}，都有 aij=ai1a1ja_{ij}=a_{i1}a_{1j}.

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)f(x) 的部分图象如图所示，则 f(x)f(x) 的解析式可能为（ ）
A.
x+sin⁡πxx+\sin \pi x
B.
x−sin⁡πxx-\sin \pi x
C.
−x+sin⁡πx-x+\sin \pi x
D.
x⋅sin⁡πxx\cdot \sin \pi x

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)f(x) 是偶函数. 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=x−af(x)=\sqrt{x}-a. 若 f(−4)=3f(-4)=3，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

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21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

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15函数与初等函数★★★☆☆
平移对称法在几何学中具有重要的应用. 设平面直角坐标系 xOyxOy 中有一图形 Ω\Omega，过 Ω\Omega 内任意一点 PP 作垂直于 xx 轴的直线 lPl_P，满足 lP∩Ωl_P\cap\Omega 为一线段. 现沿 lPl_P 方向平移这些线段，使得它们的中点均在 xx 轴上，这样叫做平移对称法. 对于由 −x2+x+1-x^2+x+1，−x2−x-x^2-x，直线 x=0x=0 和直线 x=1x=1 围成的封闭图形 Ω\Omega，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）.
A.
B.
C.
D.

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16函数与初等函数★★★★☆
对于函数 y=f(x)y=f(x)，x∈Dx\in D，设 Af={(x,y)∣y≥f(x),x∈D}A_f=\{(x,y)\mid y\ge f(x),x\in D\}. 对于点集 MM，若存在 (x0,y0)∈M(x_0,y_0)\in M，使得任取 (x,y)∈M(x,y)\in M，总有 y≥y0y\ge y_0，则称 (x0,y0)(x_0,y_0) 为“最低点”. 对于函数 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x)，以下说法中正确的是（ ）.
A.
若 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 都有最小值，则 Af∩AgA_f\cap A_g 有最低点
B.
若 Af∩AgA_f\cap A_g 有最低点，则 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 都有最小值
C.
若 y=f(x)y=f(x) 或 y=g(x)y=g(x) 有最小值，则 Af∪AgA_f\cup A_g 有最低点
D.
若 Af∪AgA_f\cup A_g 有最低点，则 y=f(x)y=f(x) 或 y=g(x)y=g(x) 有最小值

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21函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的函数. 定义性质 PP：若对任意 x1x_1，x2∈Rx_2\in\mathbf{R}，当 ∣x1∣<∣x2∣|x_1|<|x_2| 时，f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2)，则称函数 f(x)f(x) 具有“性质 PP”.
(1) 判断函数 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x 是否具有“性质 PP”； (2) 若分段函数
f(x)={ax,x≤0,x+b,x>0f(x)= \begin{cases} ax,&x\le0,\\ x+b,&x>0 \end{cases}
具有“性质 PP”，求所有满足条件的实数 aa，bb； (3) 已知 f(x)f(x) 的值域为 [0,1)[0,1)，且在 [0,+∞)[0,+\infty) 上是严格增函数，证明：f(x)f(x) 是偶函数的充要条件是 f(x)f(x) 具有“性质 PP”.

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