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04
高考真题
4分
函数与初等函数
★☆☆☆☆
下列函数中, 在区间
(
0
,
+
∞
)
(0, +\infty)
(
0
,
+
∞
)
上单调递增的是 （ ）
A.
f
(
x
)
=
−
ln
x
f(x) = -\ln x
f
(
x
)
=
−
ln
x
B.
f
(
x
)
=
1
2
x
f(x) = \frac{1}{2^x}
f
(
x
)
=
2
x
1
C.
f
(
x
)
=
−
1
x
f(x) = -\frac{1}{x}
f
(
x
)
=
−
x
1
D.
f
(
x
)
=
3
∣
x
−
1
∣
f(x) = 3^{|x-1|}
f
(
x
)
=
3
∣
x
−
1∣
2023北京卷 · 第 4 题 · 选择题
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15
高考真题
5分
函数与初等函数
★★★★☆
设
a
>
0
a > 0
a
>
0
, 函数
f
(
x
)
=
{
x
+
2
,
x
<
−
a
a
2
−
x
2
,
−
a
≤
x
≤
a
−
x
−
1
,
x
>
a
f(x) = \begin{cases} x+2, & x < -a \\ \sqrt{a^2-x^2}, & -a \le x \le a \\ -\sqrt{x}-1, & x > a \end{cases}
f
(
x
)
=
⎩
⎨
⎧
x
+
2
,
a
2
−
x
2
,
−
x
−
1
,
x
<
−
a
−
a
≤
x
≤
a
x
>
a
给出下列四个结论：
①
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在区间
(
a
−
1
,
+
∞
)
(a-1, +\infty)
(
a
−
1
,
+
∞
)
上单调递减；
② 当
a
≥
1
a \ge 1
a
≥
1
时,
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
存在最大值；
③ 设
M
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
(
x
1
≤
a
)
M(x_1, f(x_1)) (x_1 \le a)
M
(
x
1
,
f
(
x
1
))
(
x
1
≤
a
)
,
N
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
(
x
2
>
a
)
N(x_2, f(x_2)) (x_2 > a)
N
(
x
2
,
f
(
x
2
))
(
x
2
>
a
)
, 则
∣
M
N
∣
>
1
|MN| > 1
∣
M
N
∣
>
1
；
④ 设
P
(
x
3
,
f
(
x
3
)
)
(
x
3
<
−
a
)
P(x_3, f(x_3)) (x_3 < -a)
P
(
x
3
,
f
(
x
3
))
(
x
3
<
−
a
)
,
Q
(
x
4
,
f
(
x
4
)
)
(
x
4
≥
−
a
)
Q(x_4, f(x_4)) (x_4 \ge -a)
Q
(
x
4
,
f
(
x
4
))
(
x
4
≥
−
a
)
。若
∣
P
Q
∣
|PQ|
∣
P
Q
∣
存在最小值, 则
a
a
a
的取值范围是
(
0
,
1
2
]
(0, \frac{1}{2}]
(
0
,
2
1
]
。
其中所有正确结论的序号是______。
2023北京卷 · 第 15 题 · 填空题
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05
高考真题
4分
三角函数
★★☆☆☆
已知函数
f
(
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
f(x) = \cos^2 x - \sin^2 x
f
(
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
, 则 （ ）
A.
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
(
−
π
2
,
−
π
6
)
\left(-\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{6}\right)
(
−
2
π
,
−
6
π
)
上单调递减
B.
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
(
−
π
4
,
π
12
)
\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{12}\right)
(
−
4
π
,
12
π
)
上单调递增
C.
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
(
0
,
π
3
)
\left(0, \dfrac{\pi}{3}\right)
(
0
,
3
π
)
上单调递减
D.
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
(
π
4
,
7
π
12
)
\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{12}\right)
(
4
π
,
12
7
π
)
上单调递增
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