数迹
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20数列★★★★★
对于数对序列 PP：(a1,b1)(a_1, b_1)，(a2,b2)(a_2, b_2)，⋯\cdots，(an,bn)(a_n, b_n)，记 T1(P)=a1+b1T_1(P) = a_1 + b_1，Tk(P)=bk+max⁡{Tk−1(P),a1+a2+⋯+ak}T_k(P) = b_k + \max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\}（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n），其中 max⁡{Tk−1(P),a1+a2+⋯+ak}\max \{T_{k-1}(P), a_1 + a_2 + \cdots + a_k\} 表示 Tk−1(P)T_{k-1}(P) 和 a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \cdots + a_k 两个数中最大的数.
(1) 对于数对序列 PP：(2,5)(2,5)，(4,1)(4,1)，求 T1(P)T_{1}(P)，T2(P)T_{2}(P) 的值. (2) 记 mm 为 aa，bb，cc，dd 四个数中最小值，对于由两个数对 (a,b)(a, b)，(c,d)(c, d) 组成的数对序列 PP：(a,b)(a, b)，(c,d)(c, d) 和 P′P'：(c,d)(c, d)，(a,b)(a, b). 试分别对 m=am = a 和 m=dm = d 时两种情况比较 T2(P)T_{2}(P) 和 T2(P′)T_{2}(P') 的大小. (3) 在由 5 个数对5\text{ 个数对} (11,8)(11,8)，(5,2)(5,2)，(16,11)(16,11)，(11,11)(11,11)，(4,6)(4,6) 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 PP 使 T5(P)T_{5}(P) 最小，并写出 T5(P)T_{5}(P) 的值. （只需写出结论）

2014 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2+2y2=4C: x^{2} + 2y^{2} = 4.
(1) 求椭圆 CC 的离心率； (2) 设 OO 为原点，若点 AA 在直线 y=2y = 2 上，点 BB 在椭圆 CC 上，且 OA⊥OBOA \perp OB，求线段 ABAB 长度的最小值.

2014 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
设 AA 是由 m×nm\times n 个实数组成的 mm 行 nn 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零. 记 S(m,n)S(m,n) 为所有这样的数表构成的集合. 对于 A∈S(m,n)A\in S(m,n)，记 ri(A)r_i(A) 为 AA 的第 ii 行各数之和（1≤i≤m1\le i\le m），cj(A)c_j(A) 为 AA 的第 jj 列各数之和（1≤j≤n1\le j\le n）；记 k(A)k(A) 为 ∣r1(A)∣|r_1(A)|，∣r2(A)∣|r_2(A)|，⋯\cdots，∣rm(A)∣|r_m(A)|，∣c1(A)∣|c_1(A)|，∣c2(A)∣|c_2(A)|，⋯\cdots，∣cn(A)∣|c_n(A)| 中的最小值.
(1) 对如下数表 AA，求 k(A)k(A) 的值： (2) 设数表 A∈S(2,3)A\in S(2,3) 形如
求 k(A)k(A) 的最大值； (3) 给定正整数 tt，对于所有的 A∈S(2,2t+1)A\in S(2,2t+1)，求 k(A)k(A) 的最大值.

2012 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨1000\text{ 吨} 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱
可回收物3024030
其他垃圾202060
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 aa，bb，cc，其中 a>0a > 0，a+b+c=600a + b + c = 600. 当数据 aa，bb，cc 的方差 s2s^2 最大时，写出 aa，bb，cc 的值（结论不要求证明），并求此时 s2s^2 的值.
（注：s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2\right]，其中 x‾\overline{x} 为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三类厨余垃圾共 400+100+100=600400+100+100=600 吨，其中正确投放到“厨余垃圾”箱的有 400400 吨，所以估计正确投放的概率为 400600=23\dfrac{400}{600}=\dfrac{2}{3}.
\item 投放错误的垃圾量是所有非对角线数据之和，即 100+100+30+30+20+20=300100+100+30+30+20+20=300 吨. 因而估计生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310\dfrac{300}{1000}=\dfrac{3}{10}.
\item 由于 aa，bb，cc 是投放量，bb，c⩾0c\geqslant0. 它们的平均数为 xˉ=a+b+c3=200\bar{x}=\dfrac{a+b+c}{3}=200，所以
s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=a2+b2+c2−1200003s^2=\frac{1}{3}\left[(a-200)^2+(b-200)^2+(c-200)^2\right] =\frac{a^2+b^2+c^2-120000}{3}
在 aa，bb，c⩾0c\geqslant0 且 a+b+c=600a+b+c=600 时， a2+b2+c2⩽(a+b+c)2=360000a^2+b^2+c^2\leqslant(a+b+c)^2=360000，等号当且仅当其中两个数为零. 结合 a>0a>0，方差最大时 a=600a=600，b=c=0b=c=0，并且 s2=360000−1200003=80000s^2=\dfrac{360000-120000}{3}=80000. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
设 AA 是如下形式的 2 行 3 列的数表，
abcdef\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \end{array}
满足性质 PP：aa，bb，cc，dd，ee，f∈[−1,1]f \in [-1, 1]，且 a+b+c+d+e+f=0a + b + c + d + e + f = 0. 记 ri(A)r_i(A) 为 AA 的第 ii 行各数之和 （i=1i = 1，22），cj(A)c_j(A) 为 AA 的第 jj 列各数之和 （j=1j = 1，22，33）；记 k(A)k(A) 为 ∣r1(A)∣|r_1(A)|，∣r2(A)∣|r_2(A)|，∣c1(A)∣|c_1(A)|，∣c2(A)∣|c_2(A)|，∣c3(A)∣|c_3(A)| 中的最小值.
(1) 对如下数表 AA，求 k(A)k(A) 的值；
11−0.80.1−0.3−1\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -0.8 \\ 0.1 & -0.3 & -1 \end{array}
(2) 设数表 AA 形如
11−1−2ddd−1\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 - 2d \\ d & d & -1 \end{array}
其中 −1⩽d⩽0-1 \leqslant d \leqslant 0. 求 k(A)k(A) 的最大值； (3) 对所有满足性质 PP 的 2 行 3 列的数表 AA，求 k(A)k(A) 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 该数表的两行和分别为 1.21.2 和 −1.2-1.2，三列和分别为 1.11.1，0.70.7 和 −1.8-1.8. 所以 k(A)=min⁡{1.2,1.2,1.1,0.7,1.8}=0.7k(A)=\min\{1.2,1.2,1.1,0.7,1.8\}=0.7.
\item 该数表的行和、列和分别为 r1=1−2dr_1=1-2d，r2=−1+2dr_2=-1+2d，c1=c2=1+dc_1=c_2=1+d，c3=−2−2dc_3=-2-2d. 因为 −1⩽d⩽0-1\leqslant d\leqslant0，有 ∣r1∣=∣r2∣=1−2d⩾1+d⩾0|r_1|=|r_2|=1-2d\geqslant1+d\geqslant0，且 ∣c3∣=2(1+d)⩾1+d|c_3|=2(1+d)\geqslant1+d. 因此 k(A)=1+dk(A)=1+d，其最大值在 d=0d=0 时取得，最大值为 11.
\item 交换两行、交换三列以及同时将全部元素变号，都不改变 k(A)k(A). 三个列和的总和为零，所以至少有两个列和同为非负数或同为非正数；通过交换列并在必要时将全部元素变号，可设所选两列为 c1⩾0c_1\geqslant0、c2⩾0c_2\geqslant0. 再交换两行，可设 r1⩾0r_1\geqslant0. 因而 k(A)⩽r1k(A)\leqslant r_1，k(A)⩽c1k(A)\leqslant c_1，k(A)⩽c2k(A)\leqslant c_2，从而
3k(A)⩽r1+c1+c2=(a+b+c)+(a+d)+(b+e)=a+b−f⩽33k(A)\leqslant r_1+c_1+c_2 =(a+b+c)+(a+d)+(b+e) =a+b-f\leqslant3
所以 k(A)⩽1k(A)\leqslant1. 第（2）问取 d=0d=0 时，数表仍满足性质 PP，且 k(A)=1k(A)=1，故所有满足性质 PP 的数表中 k(A)k(A) 的最大值为 11. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−k)2exkf(x) = (x - k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对于任意的 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)，都有 f(x)⩽1ef(x) \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}，求 kk 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由于 k≠0k\ne0，求导得 f′(x)=2(x−k)exk+1k(x−k)2exk=exkk(x−k)(x+k)f'(x)=2(x-k)\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}+\dfrac1k(x-k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}=\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}}{k}(x-k)(x+k). 因 exk>0\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}>0，只需讨论 (x−k)(x+k)k\dfrac{(x-k)(x+k)}k 的符号.
当 k>0k>0 时，f′(x)>0f'(x)>0 在 (−∞,−k)(-\infty,-k) 和 (k,+∞)(k,+\infty) 上成立，f′(x)<0f'(x)<0 在 (−k,k)(-k,k) 上成立. 因此递增区间为 (−∞,−k)(-\infty,-k)、(k,+∞)(k,+\infty)，递减区间为 (−k,k)(-k,k).
当 k<0k<0 时，因分母 kk 为负，符号相反，故递减区间为 (−∞,k)(-\infty,k)、(−k,+∞)(-k,+\infty)，递增区间为 (k,−k)(k,-k). \item 若 k>0k>0，则当 x→+∞x\to+\infty 时，(x−k)2exk→+∞(x-k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}\to+\infty，不可能对所有 x>0x>0 有 f(x)\leqslant\dfrac1\mathrm{e}.
令 k=−ak=-a，其中 a>0a>0. 此时 f(x)=(x+a)2e−xaf(x)=(x+a)^2\mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}，且 f′(x)=e−xaa(a−x)(a+x)f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}}a(a-x)(a+x). 所以 ff 在 (0,a)(0,a) 上递增，在 (a,+∞)(a,+\infty) 上递减，最大值为 f(a)=4a2ef(a)=\dfrac{4a^2}{\mathrm{e}}. 要使最大值不超过 \dfrac1\mathrm{e}，必须且只需 4a2⩽14a^2\leqslant1，即 0<a⩽120<a\leqslant\dfrac12. 因此 −12⩽k<0-\dfrac12\leqslant k<0. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式为 an=pn+qa_{n} = pn + q（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，p>0p > 0）. 数列 {bm}\{b_{m}\} 定义如下：对于正整数 mm，bmb_{m} 是使得不等式 an⩾ma_{n} \geqslant m 成立的所有 nn 中的最小值.
(1) 若 p=12p = \frac{1}{2}，q=−13q = -\frac{1}{3}，求 b3b_{3}； (2) 若 p=2p = 2，q=−1q = -1，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 2m2m 项和公式； (3) 是否存在 pp 和 qq，使得 bm=3m+2b_{m} = 3m + 2（m∈N∗m \in \mathbf{N}^{*}）？ 如果存在，求 pp 和 qq 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

2009 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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15不等式★★★☆☆
记关于 xx 的不等式 x−ax+1<0\frac{x - a}{x + 1} < 0 的解集为 PP，不等式 ∣x−1∣⩽1|x - 1| \leqslant 1 的解集为 QQ.
(1) 若 a=3a = 3，求 PP. (2) 若 Q⊆PQ \subseteq P，求正数 aa 的取值范围.

2007 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知点 M(−2,0)M(-2,0)，N(2,0)N(2,0)，动点 PP 满足条件 ∣PM∣−∣PN∣=22\left|PM\right|-\left|PN\right|=2\sqrt{2}. 记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 若 AA，BB 是 WW 上的不同两点，OO 是坐标原点，求 OA→⋅OB→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} 的最小值.

2006 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1a_1 及公差 dd 都为整数. 前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若 a11=0a_{11} = 0，S14=98S_{14} = 98，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1⩾6a_1 \geqslant 6，a11>0a_{11} > 0，S14⩾77S_{14} \geqslant 77，求所有可能的数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2006 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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